Решение

Один цикл работы насоса - процесс достаточно быстрый, чтобы считать его близким к адиабатному, то есть процессу без теплообмена с окружающей средой.

Согласно первому закону термодинамики:

$$Q = A' + \Delta U$$

Считаем $Q=0$, а значит $\Delta U = -A'$.

A' - работа газа, A - работа над газом, они связаны соотношением:

$$A' = -A$$

Значит:

$$A = \Delta U$$

В насосе над газом совершается работа внешними силами. Значит $A>0$ и из равенства выше следует, что $\Delta > 0$.

Для идеального газа (который неплохо описывает воздух) $\Delta U = \frac{i}{2} \nu R \Delta T$.

Значит $\Delta T > 0$, то есть газ нагревается потому что над ним совершается работа в условиях отсутствия теплообмена с окружающей средой.