Решение

Если тело после подбрасывания будет сталкиваться с плитой только в точке отрыва, то оно гарантированно увеличит скорость в системе земли. Пусть тело оторвалось со скоростью $v^*$, тогда после первого столкновения оно станет двигаться со скоростью $3v^*$, после второго — со скоростью $5v^*$ и т. д. Следовательно, времена соответствующих движений по подъему и возвращению относятся как $1:3:5:\ldots$ Конечно, растет и высота подъема после каждого столкновения.

Чтобы столкновения с плитой были в одной точке, нужно чтобы указанные времена были кратны периоду $T$ колебаний плиты. Это будет учтено.

В задаче $3.3.32$ была найдена высота, на которую поднимается груз после отрыва:

$$H=\frac{\omega^2A^2-\frac{g^2}{\omega^2}}{2g}.$$

С другой стороны, эта высота равна

$$H=\frac{gt_0^2}{2},$$

где $t_0$ есть время подъема груза до остановки после отрыва.

Из предыдущих двух уравнений

$$t_0=\frac{1}{g}\sqrt{\omega^2A^2-\frac{g^2}{\omega^2}},$$

то есть время на подъем и возвращение после отрыва:

$$t^*=\frac{1}{g}\sqrt{\omega^2A^2-\frac{g^2}{\omega^2}}.$$

Если время $t^*$ будет кратно периоду $T$, то и времена $3t^*,5t^*,\ldots$ после последующих столкновений будут кратны периоду и место столкновения будет фиксированным.

Подставим это требование в предыдущее равенство:

$$kT=\frac{1}{g}\sqrt{\omega^2A^2-\frac{g^2}{\omega^2}},$$

где $k$ есть целое число.

Откуда с учетом $T=2\pi/\omega$ и находится ответ:

$$A=\frac{g}{\omega^2}\sqrt{1+(k\pi)^2}.$$