| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $7.1.14.$ Между двумя закрепленными зарядами в точке $A$ отпускают частицу с зарядом $q$. Расстояние $AB$ эта частица проходит за время $t$. За какое время | | $7.1.14.$ Между двумя закрепленными зарядами в точке $A$ отпускают частицу с зарядом $q$. Расстояние $AB$ эта частица проходит за время $t$. За какое время |
| пройдет это же расстояние частица с зарядом $3q$, если ее отпустить в точке $A$? | | пройдет это же расстояние частица с зарядом $3q$, если ее отпустить в точке $A$? |
| Массы частиц одинаковы. | | Массы частиц одинаковы. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Время движения заряженной частицы на данном участке равно | | Время движения заряженной частицы на данном участке равно |
| | | |
| $$ | | $$ |
| t=\int_{r_A}^{r_B}\frac{dr}{v(r)}, | | t=\int_{r_A}^{r_B}\frac{dr}{v(r)}, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где, например, $r_A$ и $r_B$ есть радиус-векторы из начала в левом закрепленном заряде, $v(r)$ есть скорость заряда зависящая от расстояния $r$ (от есть от радиус-вектора $r$). | | где, например, $r_A$ и $r_B$ есть радиус-векторы из начала в левом закрепленном заряде, $v(r)$ есть скорость заряда зависящая от расстояния $r$ (от есть от радиус-вектора $r$). |
| | | |
| Скорость выражается через потенциалы, если вспомнить, что работа поля равна изменению кинетической энергии | | Скорость выражается через потенциалы, если вспомнить, что работа поля равна изменению кинетической энергии |
| | | |
| $$ | | $$ |
| q\left(\varphi(r_A)-\varphi(r)\right)=\frac{mv^2}{2}, | | q\left(\varphi(r_A)-\varphi(r)\right)=\frac{mv^2}{2}, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $\varphi(r_A)$ есть потенциал в точке $A$ с радиус-вектором $r_A$, $\varphi(r)$ есть потенциал в произвольной точке с радиус-вектором $r$. | | где $\varphi(r_A)$ есть потенциал в точке $A$ с радиус-вектором $r_A$, $\varphi(r)$ есть потенциал в произвольной точке с радиус-вектором $r$. |
| | | |
| Подставляем это равенство в предыдущее и получаем после упрощения | | Подставляем это равенство в предыдущее и получаем после упрощения |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{t=\sqrt{\frac{m}{2q}}\int_{r_A}^{r_B}\frac{dr}{\sqrt{\varphi(r_A)-\varphi(r)}}.} | | \boxed{t=\sqrt{\frac{m}{2q}}\int_{r_A}^{r_B}\frac{dr}{\sqrt{\varphi(r_A)-\varphi(r)}}.} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| При изменении только заряда $q$ значение интеграла не меняется, так как в него не входит $q$ и никакие величины в нем не зависят от $q$. | | При изменении только заряда $q$ значение интеграла не меняется, так как в него не входит $q$ и никакие величины в нем не зависят от $q$. |
| | | |
