Правка раздела «Решение»

igor правка от 6 июн. 2026 г., 06:43

правка #18315 предыдущая #18314 ← раньше

ru/3.4.9.md +1 −1

			### Условие

			$3.4.9.$ Точка, совершающая гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях $x$, $y$, движется по траектории, которая называется фигурой Лиссажу. Докажите, что если частоты колебаний относятся как целые числа, то эта фигура — замкнутая кривая. Какой вид имеет фигура Лиссажу при равных частотах?

			### Решение

			Попробуйте использовать метод «выпрямить кривое», следя отдельно за движением точки по оси $x$ и $y$, отражая участки траекторий по этим осям так, чтобы мнимая траектория шла в одном направлении (не накладывалась на себя). Это можно рисовать в сетке с длиной ячейки, кратной амплитуде по соответствующей оси.

			Общее доказательство. Пусть частоты по осям $x$ и $y$ соотносятся соответственно как

			$$
			\frac{\nu_x}{\nu_y}=\frac{p}{q},
			$$

			где $p$ и $q$ есть целые числа.

			Тогда за однои то же время число колебаний по этим осям соответственно

			$$
			\frac{N_x}{N_y}=\frac{p}{q}.
			$$

			Если, например, по оси $x$ точка совершила $N_x$ колебаний, то по оси $y$ она совершила

			$$
		@@ -26,7 +26,7 @@Решение
			N_y=N_x\frac{q}{p}.
			$$

		−	Пусть $N_x$ есть целое, хотя $~~p/q~~$ есть в общем не целое! Если подобрать $N_x^*=kp$, где $k$ есть целое, то соответственно получим
		+	Пусть $N_x$ есть целое, хотя $q/p$ есть в общем не целое! Если подобрать $N_x^*=kp$, где $k$ есть целое, то соответственно получим

			$$
			N_y^*=kp\frac{q}{p}=kq.
			$$

			А $kq$ (произведение целых) есть целое.

			Это значит, что по осям $x$ и $y$ точки вернулись в начальные фазы одновременно. То есть они оказались в начальной точке. Движение повторяется с теми же начальными условиями по той же кривой.

			При равных частотах траектоия точки найдена в задаче $3.4.3.\text{б}$. Это будет эллипс.


			#### Литература

			[1] Журнал «Квант».

			[2] Башмаков М.И. Беккер Б.М. Гольховой В.М. Задачи по математике: алгебра и анализ. Библиотечка «Квант». 1982.


			#### Ответ

			Если $T_x : T_y = p : q$, где $p$ и $q$ — целые числа, то за время $pT_y = qT_x$ точка вернется в свое начальное положение. При $T_y = T_x$ траектория точки — эллипс.
		ещё строк без изменений 19

	### Условие		### Условие

	$3.4.9.$ Точка, совершающая гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях $x$, $y$, движется по траектории, которая называется фигурой Лиссажу. Докажите, что если частоты колебаний относятся как целые числа, то эта фигура — замкнутая кривая. Какой вид имеет фигура Лиссажу при равных частотах?		$3.4.9.$ Точка, совершающая гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях $x$, $y$, движется по траектории, которая называется фигурой Лиссажу. Докажите, что если частоты колебаний относятся как целые числа, то эта фигура — замкнутая кривая. Какой вид имеет фигура Лиссажу при равных частотах?

	### Решение		### Решение

	Попробуйте использовать метод «выпрямить кривое», следя отдельно за движением точки по оси $x$ и $y$, отражая участки траекторий по этим осям так, чтобы мнимая траектория шла в одном направлении (не накладывалась на себя). Это можно рисовать в сетке с длиной ячейки, кратной амплитуде по соответствующей оси.		Попробуйте использовать метод «выпрямить кривое», следя отдельно за движением точки по оси $x$ и $y$, отражая участки траекторий по этим осям так, чтобы мнимая траектория шла в одном направлении (не накладывалась на себя). Это можно рисовать в сетке с длиной ячейки, кратной амплитуде по соответствующей оси.

	Общее доказательство. Пусть частоты по осям $x$ и $y$ соотносятся соответственно как		Общее доказательство. Пусть частоты по осям $x$ и $y$ соотносятся соответственно как

	$$		$$
	\frac{\nu_x}{\nu_y}=\frac{p}{q},		\frac{\nu_x}{\nu_y}=\frac{p}{q},
	$$		$$

	где $p$ и $q$ есть целые числа.		где $p$ и $q$ есть целые числа.

	Тогда за однои то же время число колебаний по этим осям соответственно		Тогда за однои то же время число колебаний по этим осям соответственно

	$$		$$
	\frac{N_x}{N_y}=\frac{p}{q}.		\frac{N_x}{N_y}=\frac{p}{q}.
	$$		$$

	Если, например, по оси $x$ точка совершила $N_x$ колебаний, то по оси $y$ она совершила		Если, например, по оси $x$ точка совершила $N_x$ колебаний, то по оси $y$ она совершила

	$$		$$
	@@ -26,7 +26,7 @@Решение
	N_y=N_x\frac{q}{p}.		N_y=N_x\frac{q}{p}.
	$$		$$

	Пусть $N_x$ есть целое, хотя $~~p/q~~$ есть в общем не целое! Если подобрать $N_x^*=kp$, где $k$ есть целое, то соответственно получим		Пусть $N_x$ есть целое, хотя $q/p$ есть в общем не целое! Если подобрать $N_x^*=kp$, где $k$ есть целое, то соответственно получим

	$$		$$
	N_y^*=kp\frac{q}{p}=kq.		N_y^*=kp\frac{q}{p}=kq.
	$$		$$

	А $kq$ (произведение целых) есть целое.		А $kq$ (произведение целых) есть целое.

	Это значит, что по осям $x$ и $y$ точки вернулись в начальные фазы одновременно. То есть они оказались в начальной точке. Движение повторяется с теми же начальными условиями по той же кривой.		Это значит, что по осям $x$ и $y$ точки вернулись в начальные фазы одновременно. То есть они оказались в начальной точке. Движение повторяется с теми же начальными условиями по той же кривой.

	При равных частотах траектоия точки найдена в задаче $3.4.3.\text{б}$. Это будет эллипс.		При равных частотах траектоия точки найдена в задаче $3.4.3.\text{б}$. Это будет эллипс.


	#### Литература		#### Литература

	[1] Журнал «Квант».		[1] Журнал «Квант».

	[2] Башмаков М.И. Беккер Б.М. Гольховой В.М. Задачи по математике: алгебра и анализ. Библиотечка «Квант». 1982.		[2] Башмаков М.И. Беккер Б.М. Гольховой В.М. Задачи по математике: алгебра и анализ. Библиотечка «Квант». 1982.


	#### Ответ		#### Ответ

	Если $T_x : T_y = p : q$, где $p$ и $q$ — целые числа, то за время $pT_y = qT_x$ точка вернется в свое начальное положение. При $T_y = T_x$ траектория точки — эллипс.		Если $T_x : T_y = p : q$, где $p$ и $q$ — целые числа, то за время $pT_y = qT_x$ точка вернется в свое начальное положение. При $T_y = T_x$ траектория точки — эллипс.
	ещё строк без изменений 19