Решение

Попробуйте использовать метод «выпрямить кривое», следя отдельно за движением точки по оси $x$ и $y$, отражая участки траекторий по этим осям так, чтобы мнимая траектория шла в одном направлении (не накладывалась на себя). Это можно рисовать в сетке с длиной ячейки, кратной амплитуде по соответствующей оси.

Общее доказательство. Пусть частоты по осям $x$ и $y$ соотносятся соответственно как

$$\frac{\nu_x}{\nu_y}=\frac{p}{q},$$

где $p$ и $q$ есть целые числа.

Тогда за однои то же время число колебаний по этим осям соответственно

$$\frac{N_x}{N_y}=\frac{p}{q}.$$

Если, например, по оси $x$ точка совершила $N_x$ колебаний, то по оси $y$ она совершила

$$N_y=N_x\frac{q}{p}.$$

Пусть $N_x$ есть целое, хотя $q/p$ есть в общем не целое! Если подобрать $N_x^*=kp$, где $k$ есть целое, то соответственно получим

$$N_y^*=kp\frac{q}{p}=kq.$$

А $kq$ (произведение целых) есть целое.

Это значит, что по осям $x$ и $y$ точки вернулись в начальные фазы одновременно. То есть они оказались в начальной точке. Движение повторяется с теми же начальными условиями по той же кривой.

При равных частотах траектоия точки найдена в задаче $3.4.3.\text{б}$. Это будет эллипс.