Правка разделов «Условие», «Решение», «Первая часть»

igor правка от
Посмотреть решение История
правка #18332 предыдущая #18331 ← раньше
ru/3.4.10.md +58 −3
@@ -1,11 +1,66 @@
### Условие
−$3.4.10.$ [Вставьте условие задачи]
+$3.4.10.$ Докажите, что если амплитуда гармонических колебаний точки по оси $x$ равна $A$, а по оси $y$ равна $B$, то фигура Лиссажу вписывается в прямоугольник со сторонами $2A$ по оси $x$ и $2B$ по оси $y$. Пусть фигура касается горизонтальных сторон этого прямоугольника в $p = 3$ точках, а вертикальных — в $q = 4$ точках. Как относятся частоты этих колебаний?
+
### Решение
−123
+#### Первая часть
+
+Колебания по осям $x$ и $y$ соответственно в общем
+
+$$
+x(t)=A\cos\left(\omega_xt\right)
+$$
+
+и
+
+$$
+y(t)=B\cos\left(\omega_yt+\varphi\right)
+$$
+
+где $\omega_x,\omega_y$ есть частоты колебаний по осям $x,y$, $t$ есть время, $\varphi$ есть начальная фаза по оси $y$ (для колебаний по оси $x$ подобрана начальная фаза $0$ для удобства).
+
+Области значений этих функций
+
+$$
+-A\leqslant x(t)\leqslant A,\quad -B\leqslant y(t)\leqslant B,
+$$
+
+поэтому фигура Лиссажу не больше по габаритам, чем прямоугольник со сторонами $2A$ по оси $x$ и $2B$ по оси $y$.
+
+
+#### Вторая часть
+
+Имеем фигуру Лиссажу, касающуюся горизонтальных сторон этого прямоугольника в $p = 3$ точках, а вертикальных — в $q = 4$ точках.
+
+Фигура Лиссажу будет замкнутой, иначе она заполняет всю возможную для нее область и точек касаний бесконечно.
+
+Анализ фигуры Лиссажу, например, по задаче $3.4.8$ дает, что
+
+
+- за одно колебание по оси $x$ точка касается один раз одной вертикальной стороны прямоугольной области,
+
+- за одно колебание по оси $y$ точка касается один раз одной горизонтальной стороны прямоугольной области.
+
+Итак, если траектория точки, рисующая фигуру Лиссажу, по этой задаче коснулась одной вертикальной стороны $q$ раз, а одной горизонтальной — $p$ раз, то далее она замкнулась (далее — повторение) и за одинаковое время совершено
+
+- $N_x=q$ колебаний по оси $x$ и
+
+- $N_y=p$ колебаний по оси $y$.
+
+Частоты колебаний за одно и то же время
+
+$$
+\frac{\nu_x}{\nu_y}=\frac{N_x}{N_y}=\frac{q}{p}.
+$$
+
+Расчет: $\nu_x:\nu_y=4:3$.
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+\frac{\nu_x}{\nu_y}=\frac{q}{p}=\frac{4}{3}.
+$$