Колебания и волны > Наложение колебаний > Задача 3.4.10

Условие

$3.4.10.$ Докажите, что если амплитуда гармонических колебаний точки по оси $x$ равна $A$, а по оси $y$ равна $B$, то фигура Лиссажу вписывается в прямоугольник со сторонами $2A$ по оси $x$ и $2B$ по оси $y$. Пусть фигура касается горизонтальных сторон этого прямоугольника в $p = 3$ точках, а вертикальных — в $q = 4$ точках. Как относятся частоты этих колебаний?

Решение

Первая часть

Колебания по осям $x$ и $y$ соответственно в общем

$$
x(t)=A\cos\left(\omega_xt\right)
$$

и

$$
y(t)=B\cos\left(\omega_yt+\varphi\right)
$$

где $\omega_x,\omega_y$ есть частоты колебаний по осям $x,y$, $t$ есть время, $\varphi$ есть начальная фаза по оси $y$ (для колебаний по оси $x$ подобрана начальная фаза $0$ для удобства).

Области значений этих функций

$$
-A\leqslant x(t)\leqslant A,\quad -B\leqslant y(t)\leqslant B,
$$

поэтому фигура Лиссажу не больше по габаритам, чем прямоугольник со сторонами $2A$ по оси $x$ и $2B$ по оси $y$.

Вторая часть

Имеем фигуру Лиссажу, касающуюся горизонтальных сторон этого прямоугольника в $p = 3$ точках, а вертикальных — в $q = 4$ точках.

Фигура Лиссажу будет замкнутой, иначе она заполняет всю возможную для нее область и точек касаний бесконечно.

Анализ фигуры Лиссажу, например, по задаче $3.4.8$ дает, что

• за одно колебание по оси $x$ точка касается один раз одной вертикальной стороны прямоугольной области,

• за одно колебание по оси $y$ точка касается один раз одной горизонтальной стороны прямоугольной области.

Итак, если траектория точки, рисующая фигуру Лиссажу, по этой задаче коснулась одной вертикальной стороны $q$ раз, а одной горизонтальной — $p$ раз, то далее она замкнулась (далее — повторение) и за одинаковое время совершено

• $N_x=q$ колебаний по оси $x$ и

• $N_y=p$ колебаний по оси $y$.

Частоты колебаний за одно и то же время

$$
\frac{\nu_x}{\nu_y}=\frac{N_x}{N_y}=\frac{q}{p}.
$$

Расчет: $\nu_x:\nu_y=4:3$.

Ответ

$$
\frac{\nu_x}{\nu_y}=\frac{q}{p}=\frac{4}{3}.
$$