Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от
Посмотреть решение История
правка #18348 предыдущая #18347 ← раньше позже →
ru/7.4.37.md +52 −3
@@ -1,11 +1,60 @@
### Условие
−$7.4.37.$ [Вставьте условие задачи]
+$7.4.37.$ Три заряженных тела одинаковой масссы, разлетаясь, образуют всегда равнобедренный треугольник с углами $\alpha$ при вершине. Во сколько раз заряд тела, расположенного в вершине треугольника больше заряда тела в его основании.
### Решение
−asd
+![|1047x725, 50%](../../img/7.4.37/signal-2026-06-08-151649.jpeg)
+$\Delta ABC$ - равнобедренный треугольник, $AK$ - высота, медиана и биссектриса, $\angle CAK=\frac{\alpha}{2}$. Поместим начало системы координат в точку $K(0;0)$, ось $x$ направим вдоль основания $BC$, ось $y$ направим вдоль высоты $AK$. Обозначим $AK=h$, $BK=KC=d$, тогда в нашей системе координат координаты точек: $A(0;h)$, $B(-d;0)$, $C(d;0)$.
+
+Для того чтобы геометрическая конфигурация системы тел в процессе движения оставалась подобной самой себе, векторы ускорений всех тел в любой момент времени должны быть направлены строго от центра масс системы.
+
+Из прямоугольного треугольника $\Delta AKC$:
+
+$$d=AC\cdot\sin\frac{\alpha}{2}\Longrightarrow \frac{AC}{d}=\frac{1}{\sin\frac{\alpha}{2}} \tag{1}$$
+
+Так как массы всех трёх тел одинаковы, центр масс находится в точке $L$ с координатами:
+
+$$X_{цм}=\frac{0-d+d}{3}=0$$
+$$Y_{цм}=\frac{h+0+0}{3}=\frac{h}{3}$$
+
+Итак, центр масс $L(0;\frac{h}{3})$.
+
+Радиус-вектор, проведенный из центра масс $L(0;\frac{h}{3})$ к телу в точке $C(d;0)$, имеет координаты: $\overrightarrow{LC}(d-0;0-\frac{h}{3})\Rightarrow \overrightarrow{LC}(d;-\frac{h}{3})$.
+
+Результирующая кулоновская сила, действующая на тело в точке $C$ со стороны тел в точках $A$ и $B$, должна быть коллинеарна с вектором $\overrightarrow{LC}$. Условие коллинеарности:
+
+$$\frac{F_{x}}{F_{y}}=\frac{d}{-\frac{h}{3}}=-\frac{3d}{h} \tag{2}$$
+
+Запишим силу действующую на тело в точке $C$ со стороны тела в точке $B$:
+
+$$F_{BC}=\frac{kq_{2}^{2}}{4d^{2}}$$
+
+Эта сила направлена вдоль оси $x$.
+
+Вектор $\overrightarrow{AC}$ имеет координаты: $\overrightarrow{AC}(d-0;0-h)\Rightarrow \overrightarrow{AC}(d;-h)$. Сила действующая на тело в точке $C$ со стороны тела в точке $A$ в векторной форме:
+
+$$\vec F_{AC}=\frac{kq_{1}q_{2}}{AC^{3}}\cdot \overrightarrow{AC}(d;-h)$$
+
+Суммарные компоненты силы на тело в точке $C$:
+
+$$F_{x}=\frac{kq_{2}^{2}}{4d^{2}}+\frac{kq_{1}q_{2}d}{AC^{3}} \tag{3}$$
+$$F_{y}=-\frac{kq_{1}q_{2}h}{AC^{3}} \tag{4}$$
+
+Подставим компоненты силы в условие коллинеарности (2):
+
+$$\frac{\frac{kq_{2}^{2}}{4d^{2}}+\frac{kq_{1}q_{2}d}{AC^{3}}}{-\frac{kq_{1}q_{2}h}{AC^{3}}}=-\frac{3d}{h}$$
+
+Отсюда:
+
+$$\frac{q_{2}}{4d^{2}}+\frac{q_{1}d}{AC^{3}}=\frac{3q_{1}d}{AC^{3}}$$
+$$\frac{q_{2}}{4d^{2}}=\frac{2q_{1}d}{AC^{3}}\Longrightarrow \frac{q_{1}}{q_{2}}=\frac{1}{8}\cdot \left( \frac{AC}{d} \right)^{3} \tag{5}$$
+
+Учитывая (1), окончательно получаем:
+
+$$n=\frac{q_{1}}{q_{2}}=\frac{1}{8}\cdot \left( \frac{1}{\sin\frac{\alpha}{2}} \right)^{3}=\frac{1}{8\sin^{3}\frac{\alpha}{2}}$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$n=\frac{1}{8\sin^{3}\frac{\alpha}{2}}$$