7.4.38 | правка #18457 | Решения Савченко

Условие

7.4.38^∗. Тело зарядом $$q$$ удерживается на столе. Справа от него на расстоянии $$l$$ зкреплен одноименный точечный заряд $$q$$ . Слева на таком же расстоянии покоится брусок массы $$M$$ , который со столом имеет коэффициент трения $µ $µ$$ . Тело отпускают, и оно начинает без трения скользить по столу, упруго ударяясь о брусок, не передавая при ударах ему свой заряд. На какое расстояние брусок сдвинется в результате всех ударов тела?

Решение

Буду решать задачу энергетически. В начальный момент вся система обладает только потенциальной энергией кулоновского взаимодействия между телом и точечным зарядом:

$нач$$E_{нач}=\frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}l}$$$

После каждого удара часть энергии передаётся бруску и затем рассеивается трением. Следовательно, полная энергия системы монотонно убывает. Процесс прекращается тогда, когда дальнейшее движение становится невозможным. Пусть суммарное смещение бруска равно $$x$$ , тогда расстояние между зарядами $$2l+x$$ . Конечная энергия системы:

$кон$$E_{кон}=\frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}(2l+x)}$$$

Работа силы трения:

$тр$$A_{тр}=-\mu Mgx$$$

По закону сохранения энергии:

$трконнач$$A_{тр}=E_{кон}-E_{нач}$$$
$-\mu Mgx=\frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}(2l+x)}-\frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}l}$

Преобразуя, получим квадратное уравнение относительно $$x$$ :

$x^{2}+\left( 2l-\frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\mu Mgl} \right)x-\frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\mu Mg}=0$

Положительный корень:

$x=\sqrt{l^{2}+\left( \frac{q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\mu Mgl} \right)^{2}}-l+\frac{q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\mu Mgl}$

Ответ

$где$$x=\sqrt{l^{2}+l_{0}^{2}}-l+l_{0},\quad \text{где}\quad l_{0}=\frac{q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\mu Mgl}$$$