Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

jzmicer правка от
Посмотреть решение История
правка #18464 предыдущая #18463 ← раньше позже →
ru/14.5.16.md +68 −4
@@ -1,11 +1,75 @@
+
### Условие
+14.5.16. Быстрые протоны сталкиваются с неподвижными протонами. При какой кинетической энергии быстрых протонов могут рождаться
−$14.5.16.$ [Вставьте условие задачи]
+$1.$ $\pi^0$-мезоны: $p + p \to p + p + \pi^0 $?
+$2.$ $\psi$-мезоны: $p + p \to p + p + \psi $?
+$3.$ Протон-мезонные пары: $p + p \to p + p + (\bar{p} + p)$?
### Решение
+Следуя за автором, будем обозначать полную энергию буквой $E$, кинетическую - $\mathcal{E}$
−1
+В пороговом режиме все рождённые частицы покоятся друг относительно друга, то есть в системе центра масс их суммарная энергия минимальна и равна сумме масс покоя, а импульс равен нулю. Найдём пороговые энергии для трёх случаев, ответом естественно будут все энергии не меньшие пороговой
+$\textbf{1.}$
+Такие задачи обычно решаются так: записывается инвариант для всей системы до и после рождения пары. Далее, чтобы не решать сложные уравнения относительно скорости быстрой частицы, удобно записать инвариант отдельно для быстрой частицы, чтобы выразить её импульс.
+$$
+I_1=\frac{(E_1+m_pc^2)^2}{c^2}-p_1^2=(2m_pc^2+m_{\pi^0}c^2)^2\tag{1}
+$$
+$$
+(m_pc^2)^2=\frac{E_1^2}{c^2}-p_1^2\tag{2}
+$$
+$$
+E_1=\mathcal{E}_1+m_pc^2\tag{3}
+$$
+Решим эту систему:
+$$
+\frac{(E_1+m_pc^2)^2}{c^2}-\frac{E_1^2}{c^2}=(2m_pc^2+m_{\pi^0}c^2)^2-(m_pc^2)^2
+$$
+$$
+2E_1m_pc^2=с^4((2m_p+m_{\pi^0})^2-2m_p^2)
+$$
+$$
+E_1=с^2\frac{(2m_p+m_{\pi^0})^2-2m_p^2}{2m_p}
+$$
+$$
+\mathcal{E}_1=E_1-m_pc^2=с^2\frac{(2m_p+m_{\pi^0})^2-4m_p^2}{2m_p}=с^2\frac{(2m_p+m_{\pi^0})^2-4m_p^2}{2m_p}
+$$
+$$
+\mathcal{E}_1=m_{\pi^0}c^2 \frac{m_{\pi^0}+4m_p}{2m_p}\tag{4}
+$$
+$\textbf{2.}$
+Случаи $1$ и $2$ отличаются только массой мезонов, поэтому ответ будет таким же с поправкой на эту массу:
+$$
+\mathcal{E}_2=m_{\psi}c^2 \frac{m_{\psi}+4m_p}{2m_p}\tag{5}
+$$
+$\textbf{3.}$
+Тут полностью аналогично:
+$$
+I_3=\frac{(E_3+m_pc^2)^2}{c^2}-p_3^2=(4m_pc^2)^2\tag{6}
+$$
+$$
+(m_pc^2)^2=\frac{E_3^2}{c^2}-p_3^2\tag{7}
+$$
+$(7)\to(6)$
+$$
+\frac{(E_3+m_pc^2)^2}{c^2}-\frac{E_3^2}{c^2}=(4m_pc^2)^2-(m_pc^2)^2
+$$
+$$
+2E_3m_p=с^2((4m_p)^2-2m_p^2)
+$$
+$$
+E_3=7m_pс^2\quad \to\quad \mathcal{E}_3=6 m_p c^2
+$$
+$No:$
+У Савченко с ответе опечатка
#### Ответ
−
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+\mathcal{E}_1\geqslant m_{\pi^0}c^2 \frac{m_{\pi^0}+4m_p}{2m_p}
+$$
+$$
+\mathcal{E}_2\geqslant m_{\psi}c^2 \frac{m_{\psi}+4m_p}{2m_p}
+$$
+$$
+\mathcal{E}_3\geqslant 6 m_p c^2
+$$