Решение

Разрежем наш цилиндр на пластины вдоль его оси, толщина такой пластины $h = Rsin\varphi d\varphi$, где $\varphi$ - азимутный угол, посчитаем плотность тока через дугу $Rd \varphi$:

$$i R d\varphi = M R sin\varphi d \varphi$$
$$i = M sin \varphi$$

Уже знакомый нам гармонический закон, поэтому поле внутри цилиндра однородно и равно:

$$B_{in} = \frac{\mu_0 M}{2}$$

(смотреть задачу $9.3.22$)

Теперь используем результат той же задачи для нахождения эквивалентной плотности тока через сечении и используем предельный переход, рассмотрев поле от цилиндра как суперпозицию двух цилиндров на расстоянии $a \to 0$ с $j \to \inf$:
$$\frac{\mu_0 j a}{2} = \frac{\mu_0 M}{2}$$
$$j = \frac{M}{a}$$
Результирующее поле на расстоянии x:
$$B_{out} = \frac{\mu_0 j r^2}{2x}-\frac{\mu_0 j r^2}{2(x+a)}$$
$$B_{out} = \frac{\mu_0 M}{2}(\frac{r}{x})^2$$