Постоянное магнитное поле > Магнитное поле тока распределенного по поверхности или пространству > Задача 9.3.22

Условие

$9.3.22.$ а. Два цилиндра радиуса $R$, оси которых находятся на расстоянии $a$ друг от друга, пересекаются, как показано на рисунке. Через заштрихованные области вдоль осей в противоположных направлениях текут токи, плотность которых $±j$. Найдите индукцию магнитного поля в области, лежащей между заштрихованными областями.

б. Используя результат предыдущей задачи и применяя метод предельного перехода, найдите при $a → 0$, $j → ∞$ распределение линейной плотности тока на поверхности цилиндра радиуса $R$, которое дает однородное внутри цилиндра магнитное поле индукции $B_0$. Как связана максимальная линейная плотность тока с индукцией поля $B_0$?

Решение

а) Как и в предыдущей задачи будем пользоваться свойством векторного произведения и формулой для поля внутри цилиндрического провода. Рассмотрим точку на расстоянии $r_1$ и $r_2$ от центров цилиндров:
$$\hat{B} = \frac{\mu_0 [\hat{r}_1 \times \hat{j}]}{2} - \frac{\mu_0 [\hat{r}_2 \times \hat{j}]}{2} = \frac{\mu_0 [\hat{a} \times \hat{j}]}{2}$$
$$B = \frac{\mu_0 a j}{2}$$
б) Подробное решение этого пункта повторяет во всех основных моментах решение задачи 6.2.14, с которым рекомендую ознакомится, однако следует упомянуть что тут, удобнее выражать ответ через синус, ведь линии индукции внутри перпендикулярны вектору $\hat{a}$.
$$i = j a sin \varphi$$
$$j = \frac{2B_0}{\mu_0 a}$$
$$i = \frac{2B_0}{\mu_0}sin\varphi$$
$$i_{max} = \frac{2B_0}{\mu_0}$$

Ответ

а)$$B = \frac{\mu_0 a j}{2}$$
б)$$i = \frac{2B_0}{\mu_0}sin\varphi$$
$$i_{max} = \frac{2B_0}{\mu_0}$$