Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/14.5.14.md
+56 −4
| @@ -1,11 +1,63 @@ | |||
| ### Условие | |||
| + | $14.5.14^∗ $. Масса и импульс состояния, которое получается при движении со скоростью $v$ состояния с массой $M$ и нулевым импульсом, равны $\gamma M$ и $\gamma Mv_0$, $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$. Докажите это утверждение для состояния, в котором движутся две невзаимодействующие частицы. | ||
| − | $14.5.14.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| − | |||
| ### Решение | |||
| − | 1 | ||
| + | Как и во многих других задачах этого раздела, автор считает массу мерой полной энергии. Тогда пусть в системе центра масс двух частиц | ||
| + | $$ | ||
| + | E_1+E_2=Mc^2 \qquad \vec{p_1}+\vec{p_2}=0 | ||
| + | $$ | ||
| + | $Note \ 1:$ Обратите внимание: из этого следует, то сумма проекций импульсов на любую ось равна $0$ | ||
| + | Теперь, используя преобразования Лоренца, перейдём в систему, движущуюся со скоростью $v$ вдоль оси $x$. Для для каждой частицы можно записать: | ||
| + | $$\begin{pmatrix} | ||
| + | E'/c \\\\ | ||
| + | p'_x \\\\ | ||
| + | p'_y \\\\ | ||
| + | p'_z | ||
| + | \end{pmatrix}= | ||
| + | \begin{pmatrix} | ||
| + | E/c\\\\ | ||
| + | p_x \\\\ | ||
| + | p_y \\\\ | ||
| + | p_z | ||
| + | \end{pmatrix} | ||
| + | \cdot | ||
| + | \begin{pmatrix} | ||
| + | \gamma& \beta\gamma & 0 & 0 \\\\ | ||
| + | \beta\gamma &\gamma& 0 & 0 \\\\ | ||
| + | 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ | ||
| + | 0 & 0 & 0 & 1 | ||
| + | \end{pmatrix}= | ||
| + | \begin{pmatrix} | ||
| + | \frac{\gamma}{c}(E+vp_x)\\\\ | ||
| + | \gamma(p_x+\beta\frac{E}{c}) \\\\ | ||
| + | p_y \\\\ | ||
| + | p_z | ||
| + | \end{pmatrix}\tag{2} | ||
| + | $$ | ||
| + | Суммируя получим: | ||
| + | $$ | ||
| + | E'=E'_1-E'_2=\gamma(E_1+vp_{x1}+E_2+vp_{x1})\tag{3} | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | \vec{P'}=\hat{x}(p'_{x1}+p'_{x2})+\hat{y}(p'_{y1}+p'_{y2})+\hat{z}(p'_{z1}+p'_{z2}) | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | \vec{P'}=\gamma\hat{x}\left(p_{x1}+\beta\frac{E_1}{c}+p_{x2}+\beta\frac{E_2}{c}\right)+\hat{y}(p_{y1}+p_{y2})+\hat{z}(p_{z1}+p_{z2})\tag{4} | ||
| + | $$ | ||
| + | Учитывая $Note \ 1$, | ||
| + | $$ | ||
| + | E'=M'c^2=\gamma(E_1+E_2+vp_{x1})=\gamma Mc^2 \quad so\quad M'=\gamma M \tag{5} | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | \vec{P'}=\gamma\hat{x}\left(\beta\frac{E_1+E_2}{c}\right)=\gamma \vec{v} \frac{Mc^2}{c^2}=\gamma M\vec{v} \tag{6} | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | Что и требовалось. | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$ | ||
| + | \boxed{M'=\gamma M\qquad \vec{P'}=\gamma M\vec{v} } | ||
| + | $$ | ||
| @@ -1,11 +1,63 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $14.5.14^∗ $. Масса и импульс состояния, которое получается при движении со скоростью $v$ состояния с массой $M$ и нулевым импульсом, равны $\gamma M$ и $\gamma Mv_0$, $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$. Докажите это утверждение для состояния, в котором движутся две невзаимодействующие частицы. | |||
| $14.5.14.$ [Вставьте условие задачи] | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| 1 | Как и во многих других задачах этого раздела, автор считает массу мерой полной энергии. Тогда пусть в системе центра масс двух частиц | ||
| $$ | |||
| E_1+E_2=Mc^2 \qquad \vec{p_1}+\vec{p_2}=0 | |||
| $$ | |||
| $Note \ 1:$ Обратите внимание: из этого следует, то сумма проекций импульсов на любую ось равна $0$ | |||
| Теперь, используя преобразования Лоренца, перейдём в систему, движущуюся со скоростью $v$ вдоль оси $x$. Для для каждой частицы можно записать: | |||
| $$\begin{pmatrix} | |||
| E'/c \\\\ | |||
| p'_x \\\\ | |||
| p'_y \\\\ | |||
| p'_z | |||
| \end{pmatrix}= | |||
| \begin{pmatrix} | |||
| E/c\\\\ | |||
| p_x \\\\ | |||
| p_y \\\\ | |||
| p_z | |||
| \end{pmatrix} | |||
| \cdot | |||
| \begin{pmatrix} | |||
| \gamma& \beta\gamma & 0 & 0 \\\\ | |||
| \beta\gamma &\gamma& 0 & 0 \\\\ | |||
| 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ | |||
| 0 & 0 & 0 & 1 | |||
| \end{pmatrix}= | |||
| \begin{pmatrix} | |||
| \frac{\gamma}{c}(E+vp_x)\\\\ | |||
| \gamma(p_x+\beta\frac{E}{c}) \\\\ | |||
| p_y \\\\ | |||
| p_z | |||
| \end{pmatrix}\tag{2} | |||
| $$ | |||
| Суммируя получим: | |||
| $$ | |||
| E'=E'_1-E'_2=\gamma(E_1+vp_{x1}+E_2+vp_{x1})\tag{3} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| \vec{P'}=\hat{x}(p'_{x1}+p'_{x2})+\hat{y}(p'_{y1}+p'_{y2})+\hat{z}(p'_{z1}+p'_{z2}) | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| \vec{P'}=\gamma\hat{x}\left(p_{x1}+\beta\frac{E_1}{c}+p_{x2}+\beta\frac{E_2}{c}\right)+\hat{y}(p_{y1}+p_{y2})+\hat{z}(p_{z1}+p_{z2})\tag{4} | |||
| $$ | |||
| Учитывая $Note \ 1$, | |||
| $$ | |||
| E'=M'c^2=\gamma(E_1+E_2+vp_{x1})=\gamma Mc^2 \quad so\quad M'=\gamma M \tag{5} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| \vec{P'}=\gamma\hat{x}\left(\beta\frac{E_1+E_2}{c}\right)=\gamma \vec{v} \frac{Mc^2}{c^2}=\gamma M\vec{v} \tag{6} | |||
| $$ | |||
| Что и требовалось. | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $$ | ||
| \boxed{M'=\gamma M\qquad \vec{P'}=\gamma M\vec{v} } | |||
| $$ | |||