14.5.14∗. Масса и импульс состояния, которое получается при движении со скоростью $v$ состояния с массой $M$ и нулевым импульсом, равны $\gamma M$ и $\gamma Mv_0$,$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$. Докажите это утверждение для состояния, в котором движутся две невзаимодействующие частицы.
Решение
Как и во многих других задачах этого раздела, автор считает массу мерой полной энергии. Тогда пусть в системе центра масс двух частиц $$E_1+E_2=Mc^2 \qquad \vec{p_1}+\vec{p_2}=0$$ $Note \ 1:$ Обратите внимание: из этого следует, то сумма проекций импульсов на любую ось равна $0$ Теперь, используя преобразования Лоренца, перейдём в систему, движущуюся со скоростью $v$ вдоль оси $x$. Для для каждой частицы можно записать: \begin{pmatrix} E'/c \\ p'_x \\ p'_y \\ p'_z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} E/c\\ p_x \\ p_y \\ p_z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \gamma& \beta\gamma & 0 & 0 \\ \beta\gamma &\gamma& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{\gamma}{c}(E+vp_x)\\ \gamma(p_x+\beta\frac{E}{c}) \\ p_y \\ p_z \end{pmatrix}\tag{2}