Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/12.2.4.md
+43 −6
| @@ -1,15 +1,52 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $12.2.4.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $12.2.4$. Найдите углы, определяющие направления минимумов излучения, если плоская волна падает перпендикулярно на щель ширины $b$. Длина волны $\lambda < b$. | ||
| + |  | ||
| ### Решение | |||
| − |  | ||
| + | Согласно принципу Гюйгенса-Френеля каждый элемент площади щели становится источником сферической волны. Амплитуда колебаний в некоторой точке на расстоянии $r\gg b$ является суммой амплитуд этих волн. | ||
| − | ### Solution | ||
| − | According to the Huygens-Fresnel principle, each element of the slit area becomes a source of a spherical wave. The amplitude of oscillations at a certain point at a distance $r \gg b$ is the sum of the amplitudes of these waves. | ||
|  | |||
| − | #### Ответ | ||
| + | Пусть $\Delta(x)$ - разность хода в точке $A$ между испущенной из центра щели и из точки с координатой $x$ волнами. | ||
| + | $$ | ||
| + | \Delta(x)=r-r(x)=r-(r^2+x^2-2xr\cos\theta)^{\frac{1}{2}} | ||
| + | $$ | ||
| + | Используя стандартные приближения, | ||
| + | $$ | ||
| + | \Delta(x)\approx r-r\left(1-2x\cos\theta\right)^{\frac{1}{2}}\approx x\cos\theta | ||
| + | $$ | ||
| + | Пусть фаза испущенной из середины щели (участком шириной $dx$) волны равна 0, её уравнение: | ||
| + | $$ | ||
| + | \psi (0, t)=\psi_0dx=A_0e^{i(\omega t-kr)} | ||
| + | $$ | ||
| + | Тогда | ||
| + | $$ | ||
| + | \psi (x, t)=A_0e^{i(\omega t-k(r+\Delta))}=\psi_0e^{-ikx\cos\theta}dx | ||
| + | $$ | ||
| + | Амплитуда в точке $A$: | ||
| + | $$ | ||
| + | A\propto\int_{-b/2}^{b/2}e^{-ixk\cos\theta}dx\propto\frac{e^{ik\frac{b}{2}\cos\theta}-e^{-ik\frac{b}{2}\cos\theta}}{ik\cos\theta} | ||
| + | $$ | ||
| + | Вспомним, что $\sin u = \frac{e^{i u} - e^{-i u}}{2i}$ | ||
| + | $$ | ||
| + | A\propto 2\frac{\sin\left(k\frac{b}{2}\cos\theta\right)}{k\cos\theta} | ||
| + | $$ | ||
| + | Условие минимумов: | ||
| + | $$ | ||
| + | A=0 \ \to k\frac{b}{2}\cos\theta=\pi m, \quad m\in Z | ||
| + | $$ | ||
| + | Волновое число равно $k=\frac{2\pi}{\lambda}$, поэтому минимумы соответствуют углам | ||
| + | $$ | ||
| + | b\cos\theta=\lambda m,\quad m\in Z | ||
| + | $$ | ||
| + | Савченко использует угол к нормали, поэтому в его обозначениях то же самое: | ||
| + | $$ | ||
| + | \sin \alpha_k = \frac{k\lambda}{b},\quad k\in Z | ||
| + | $$ | ||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | #### Ответ | ||
| + | $$ | ||
| + | \boxed{\sin \alpha_k = \frac{k\lambda}{b},\quad k\in Z} | ||
| + | $$ | ||
| @@ -1,15 +1,52 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $12.2.4.$ [Вставьте условие задачи] | $12.2.4$. Найдите углы, определяющие направления минимумов излучения, если плоская волна падает перпендикулярно на щель ширины $b$. Длина волны $\lambda < b$. | ||
|  | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
|  | Согласно принципу Гюйгенса-Френеля каждый элемент площади щели становится источником сферической волны. Амплитуда колебаний в некоторой точке на расстоянии $r\gg b$ является суммой амплитуд этих волн. | ||
| ### Solution | |||
| According to the Huygens-Fresnel principle, each element of the slit area becomes a source of a spherical wave. The amplitude of oscillations at a certain point at a distance $r \gg b$ is the sum of the amplitudes of these waves. | |||
|  |  | ||
| #### Ответ | Пусть $\Delta(x)$ - разность хода в точке $A$ между испущенной из центра щели и из точки с координатой $x$ волнами. | ||
| $$ | |||
| \Delta(x)=r-r(x)=r-(r^2+x^2-2xr\cos\theta)^{\frac{1}{2}} | |||
| $$ | |||
| Используя стандартные приближения, | |||
| $$ | |||
| \Delta(x)\approx r-r\left(1-2x\cos\theta\right)^{\frac{1}{2}}\approx x\cos\theta | |||
| $$ | |||
| Пусть фаза испущенной из середины щели (участком шириной $dx$) волны равна 0, её уравнение: | |||
| $$ | |||
| \psi (0, t)=\psi_0dx=A_0e^{i(\omega t-kr)} | |||
| $$ | |||
| Тогда | |||
| $$ | |||
| \psi (x, t)=A_0e^{i(\omega t-k(r+\Delta))}=\psi_0e^{-ikx\cos\theta}dx | |||
| $$ | |||
| Амплитуда в точке $A$: | |||
| $$ | |||
| A\propto\int_{-b/2}^{b/2}e^{-ixk\cos\theta}dx\propto\frac{e^{ik\frac{b}{2}\cos\theta}-e^{-ik\frac{b}{2}\cos\theta}}{ik\cos\theta} | |||
| $$ | |||
| Вспомним, что $\sin u = \frac{e^{i u} - e^{-i u}}{2i}$ | |||
| $$ | |||
| A\propto 2\frac{\sin\left(k\frac{b}{2}\cos\theta\right)}{k\cos\theta} | |||
| $$ | |||
| Условие минимумов: | |||
| $$ | |||
| A=0 \ \to k\frac{b}{2}\cos\theta=\pi m, \quad m\in Z | |||
| $$ | |||
| Волновое число равно $k=\frac{2\pi}{\lambda}$, поэтому минимумы соответствуют углам | |||
| $$ | |||
| b\cos\theta=\lambda m,\quad m\in Z | |||
| $$ | |||
| Савченко использует угол к нормали, поэтому в его обозначениях то же самое: | |||
| $$ | |||
| \sin \alpha_k = \frac{k\lambda}{b},\quad k\in Z | |||
| $$ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | #### Ответ | ||
| $$ | |||
| \boxed{\sin \alpha_k = \frac{k\lambda}{b},\quad k\in Z} | |||
| $$ | |||