Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от 12 июн. 2026 г., 07:15

правка #18672 предыдущая #18670 ← раньше

ru/5.8.15.md +74 −3

		@@ -1,11 +1,82 @@
			### Условие

		−	$5.8.15.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$5.8.15.$ Поршень первоначально делит цилиндрический сосуд на две равные части, в которых находится идеальный газ одинаковой массы с одной и той же температурой. Реален ли процесс, в котором при движении поршня температура одной части увеличивается в два раза, а другой — уменьшается в два раза? Теплоемкостью поршня и цилиндра можно пренебречь, система изолирована.

			### Решение

		−	asd
		+	Я считаю эту задачу краеугольной в данном разделе. Именно в ней, по моему мнению, раскрывается в полном объёме вероятностный термодинамический подход в статистической физике. Возможно, кому-то покажется решение перегруженным, но я хочу в стиле методологии Сивухина показать решение.

		+	Любое макросостояние системы характеризующееся давлением, объемом и температурой реализуется огромным числом микросостояний, то есть конкретным набором координат и импульсов всех молекул. Число таких микросостояний есть термодинамической вероятностью $W$.
		+
		+	Согласно второму закону термодинамики, изолированная система может самопроизвольно переходить только из менее вероятного состояния в более вероятное. То есть для любого реального процесса отношение конечной вероятности системы к начальной должно быть:
		+
		+	$$\frac{W_{кон}}{W_{нач}}\ge 1$$
		+
		+	Поскольку молекулы идеального газа не взаимодействуют друг с другом, пространственное распределение частиц и распределение их по скоростям (энергиям) являются независимыми событиями. Поэтому полную термодинамическую вероятность одной части газа можно представить как произведение пространственной $W_{V}$ и температурной $W_{T}$ составляющих:
		+
		+	$$W=W_{V}\cdot W_{T}$$
		+
		+	Пусть газ, состоящий из $N$ молекул, находится в сосуде полного объема $V_{полн}$ и мы рассматриваем вероятность того, что газ займет некоторую часть этого объема $V$. Вероятность $p$ для одной случайно выбранной молекулы оказаться внутри выделенного объема:
		+
		+	$$p=\frac{V}{V_{полн}}$$
		+
		+	Так как молекулы идеального газа движутся независимо друг от друга, вероятность того, что все $N$ молекул одновременно окажутся в объеме $V$, находится по правилу умножения вероятностей:
		+
		+	$$P=p^{N}=\left( \frac{V}{V_{полн}} \right)^{N}$$
		+
		+	Термодинамическая вероятность $W_{V}$ прямо пропорционально этой математической вероятности. Так как полный объем сосуда в ходе процесса не меняется, то:
		+
		+	$$W_{V}\sim V^{N} \tag{1}$$
		+
		+	Температурная составляющая показывает, сколькими способами можно распределить фиксированную внутреннюю энергию $U$ между всеми молекулами. Пусть каждая молекула имеет $i$ степеней свободы. Всего у системы из $N$ молекул будет $M=iN$ степеней свободы.
		+
		+	Микросостояние системы по энергиям задается набором импульсов для каждой степени свободы: $\left(p_{1},p_{2},...,p_{M} \right)$. Суммарная внутренняя энергия газа $U$:
		+
		+	$$U=\frac{p_{1}^{2}}{2m}+\frac{p_{2}^{2}}{2m}+...+\frac{p_{M}^{2}}{2m}\Longrightarrow 2mU=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+...+p_{M}^{2}$$
		+
		+	Геометрически это уравнение задает сферу в $M$-мерном пространстве импульсов, радиус которой равен $R=\sqrt{2mU}$. Число микросостояний $W_{T}$ пропорционально площади поверхности этой многомерной сферы. Из геометрии известно, что площадь $M$-мерной сферы пропорциональна ее радиусу в степени $M-1$. Так как $M\sim 10^{23}$, то единицей можно пренебречь:
		+
		+	$$W_{T}\sim R^{M}=(\sqrt{2mU})^{M}\sim U^{\frac{M}{2}}$$
		+
		+	Поскольку внутренняя энергия идеального газа прямо пропорциональна его абсолютной температуре, то:
		+
		+	$$W_{T}\sim T^{\frac{M}{2}}=T^{\frac{i}{2}N} \tag{2}$$
		+
		+	Итак, общая термодинамическая вероятность макросостояния:
		+
		+	$$W\sim V^{N}\cdot T^{\frac{i}{2}N} \tag{3}$$
		+
		+	В нашей задаче цилиндр разделен поршнем на две изолированные части, в каждой из которых находится одинаковая масса газа, а значит, одинаковое число молекул $N$. Так как подсистемы независимы, общая термодинамическая вероятность всей системы равна произведению вероятностей ее половин:
		+
		+	$$W_{сист}=W_{1}\cdot W_{2}$$
		+
		+	В начале обе части занимают одинаковый объем $V_{0}$ и имеют одинаковую температуру $T_{0}$:
		+
		+	$$W_{нач}=W_{1}\cdot W_{2}\sim \left( V_{0}^{N}\cdot T_{0}^{\frac{i}{2}N} \right)\cdot\left( V_{0}^{N}\cdot T_{0}^{\frac{i}{2}N} \right)=V_{0}^{2N}\cdot T_{0}^{iN} \tag{4}$$
		+
		+	В конце температура первой части увеличилась вдвое $T_{1}=2T_{0}$, а второй уменьшилась вдвое $T_{2}=\frac{T_{0}}{2}$.
		+
		+	Пусть при движении поршня первая часть заняла объем $V_{1}=x\cdot V_{0}$, где $x$ - коэффициент изменения объема. Так как общий объем цилиндра фиксирован и равен $2V_{0}$ вторая часть вынуждена занять объем: $V_{2}=2V_{0}-V_{1}=(2-x)V_{0}$.
		+
		+	Вероятность системы в конечном состоянии:
		+
		+	$$W_{кон}\sim \left[ (xV_{0})^{N}\cdot (2T_{0})^{\frac{i}{2}N} \right]\cdot\left[ \left( (2-x)V_{0} \right)^{N}\cdot \left( \frac{T_{0}}{2} \right)^{\frac{i}{2}N} \right]$$
		+
		+	Отсюда:
		+
		+	$$W_{кон}\sim V_{0}^{2N}\cdot T_{0}^{iN}\cdot\left[ x(2-x) \right]^{N} \tag{5}$$
		+
		+	Отношение конечной вероятности системы к начальной:
		+
		+	$$\frac{W_{кон}}{W_{нач}}=\frac{V_{0}^{2N}\cdot T_{0}^{iN}\cdot\left[ x(2-x) \right]^{N}}{V_{0}^{2N}\cdot T_{0}^{iN}}=\left[ x(2-x) \right]^{N} \tag{6}$$
		+
		+	Функция $f(x)=x(2-x)=1-(1-x)^{2}$ это парабола, ветви которой направлены вниз. Максимальное возможное значение функции равно 1 и достигается только при $x=1$ когда поршень остается ровно посередине, то есть никакого процесса не происходит. При любом смещении поршня $x\neq 1$ значение функции строго меньше единицы $f(x)\lt 1$. Так как число молекул в газе макроскопически огромно, то возведение числа, меньшего единицы, в степень $N$ дает величину, практически равную нулю:
		+
		+	$$\frac{W_{кон}}{W_{нач}}\to 0\Longrightarrow W_{кон}\ll W_{нач} \tag{7}$$
		+
		+	Вероятность конечного состояния системы при любом сдвиге поршня оказывается статистически ничтожно малой по сравнению с начальной. Согласно второму закону термодинамики, изолированная система не может самопроизвольно перейти в состояние с меньшей термодинамической вероятностью. Поэтому описанный самопроизвольный процесс абсолютно нереален.
		+
		+
			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	Нереален.

	@@ -1,11 +1,82 @@
	### Условие		### Условие

	$5.8.15.$ [Вставьте условие задачи]		$5.8.15.$ Поршень первоначально делит цилиндрический сосуд на две равные части, в которых находится идеальный газ одинаковой массы с одной и той же температурой. Реален ли процесс, в котором при движении поршня температура одной части увеличивается в два раза, а другой — уменьшается в два раза? Теплоемкостью поршня и цилиндра можно пренебречь, система изолирована.

	### Решение		### Решение

	asd		Я считаю эту задачу краеугольной в данном разделе. Именно в ней, по моему мнению, раскрывается в полном объёме вероятностный термодинамический подход в статистической физике. Возможно, кому-то покажется решение перегруженным, но я хочу в стиле методологии Сивухина показать решение.

			Любое макросостояние системы характеризующееся давлением, объемом и температурой реализуется огромным числом микросостояний, то есть конкретным набором координат и импульсов всех молекул. Число таких микросостояний есть термодинамической вероятностью $W$.

			Согласно второму закону термодинамики, изолированная система может самопроизвольно переходить только из менее вероятного состояния в более вероятное. То есть для любого реального процесса отношение конечной вероятности системы к начальной должно быть:

			$$\frac{W_{кон}}{W_{нач}}\ge 1$$

			Поскольку молекулы идеального газа не взаимодействуют друг с другом, пространственное распределение частиц и распределение их по скоростям (энергиям) являются независимыми событиями. Поэтому полную термодинамическую вероятность одной части газа можно представить как произведение пространственной $W_{V}$ и температурной $W_{T}$ составляющих:

			$$W=W_{V}\cdot W_{T}$$

			Пусть газ, состоящий из $N$ молекул, находится в сосуде полного объема $V_{полн}$ и мы рассматриваем вероятность того, что газ займет некоторую часть этого объема $V$. Вероятность $p$ для одной случайно выбранной молекулы оказаться внутри выделенного объема:

			$$p=\frac{V}{V_{полн}}$$

			Так как молекулы идеального газа движутся независимо друг от друга, вероятность того, что все $N$ молекул одновременно окажутся в объеме $V$, находится по правилу умножения вероятностей:

			$$P=p^{N}=\left( \frac{V}{V_{полн}} \right)^{N}$$

			Термодинамическая вероятность $W_{V}$ прямо пропорционально этой математической вероятности. Так как полный объем сосуда в ходе процесса не меняется, то:

			$$W_{V}\sim V^{N} \tag{1}$$

			Температурная составляющая показывает, сколькими способами можно распределить фиксированную внутреннюю энергию $U$ между всеми молекулами. Пусть каждая молекула имеет $i$ степеней свободы. Всего у системы из $N$ молекул будет $M=iN$ степеней свободы.

			Микросостояние системы по энергиям задается набором импульсов для каждой степени свободы: $\left(p_{1},p_{2},...,p_{M} \right)$. Суммарная внутренняя энергия газа $U$:

			$$U=\frac{p_{1}^{2}}{2m}+\frac{p_{2}^{2}}{2m}+...+\frac{p_{M}^{2}}{2m}\Longrightarrow 2mU=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+...+p_{M}^{2}$$

			Геометрически это уравнение задает сферу в $M$-мерном пространстве импульсов, радиус которой равен $R=\sqrt{2mU}$. Число микросостояний $W_{T}$ пропорционально площади поверхности этой многомерной сферы. Из геометрии известно, что площадь $M$-мерной сферы пропорциональна ее радиусу в степени $M-1$. Так как $M\sim 10^{23}$, то единицей можно пренебречь:

			$$W_{T}\sim R^{M}=(\sqrt{2mU})^{M}\sim U^{\frac{M}{2}}$$

			Поскольку внутренняя энергия идеального газа прямо пропорциональна его абсолютной температуре, то:

			$$W_{T}\sim T^{\frac{M}{2}}=T^{\frac{i}{2}N} \tag{2}$$

			Итак, общая термодинамическая вероятность макросостояния:

			$$W\sim V^{N}\cdot T^{\frac{i}{2}N} \tag{3}$$

			В нашей задаче цилиндр разделен поршнем на две изолированные части, в каждой из которых находится одинаковая масса газа, а значит, одинаковое число молекул $N$. Так как подсистемы независимы, общая термодинамическая вероятность всей системы равна произведению вероятностей ее половин:

			$$W_{сист}=W_{1}\cdot W_{2}$$

			В начале обе части занимают одинаковый объем $V_{0}$ и имеют одинаковую температуру $T_{0}$:

			$$W_{нач}=W_{1}\cdot W_{2}\sim \left( V_{0}^{N}\cdot T_{0}^{\frac{i}{2}N} \right)\cdot\left( V_{0}^{N}\cdot T_{0}^{\frac{i}{2}N} \right)=V_{0}^{2N}\cdot T_{0}^{iN} \tag{4}$$

			В конце температура первой части увеличилась вдвое $T_{1}=2T_{0}$, а второй уменьшилась вдвое $T_{2}=\frac{T_{0}}{2}$.

			Пусть при движении поршня первая часть заняла объем $V_{1}=x\cdot V_{0}$, где $x$ - коэффициент изменения объема. Так как общий объем цилиндра фиксирован и равен $2V_{0}$ вторая часть вынуждена занять объем: $V_{2}=2V_{0}-V_{1}=(2-x)V_{0}$.

			Вероятность системы в конечном состоянии:

			$$W_{кон}\sim \left[ (xV_{0})^{N}\cdot (2T_{0})^{\frac{i}{2}N} \right]\cdot\left[ \left( (2-x)V_{0} \right)^{N}\cdot \left( \frac{T_{0}}{2} \right)^{\frac{i}{2}N} \right]$$

			Отсюда:

			$$W_{кон}\sim V_{0}^{2N}\cdot T_{0}^{iN}\cdot\left[ x(2-x) \right]^{N} \tag{5}$$

			Отношение конечной вероятности системы к начальной:

			$$\frac{W_{кон}}{W_{нач}}=\frac{V_{0}^{2N}\cdot T_{0}^{iN}\cdot\left[ x(2-x) \right]^{N}}{V_{0}^{2N}\cdot T_{0}^{iN}}=\left[ x(2-x) \right]^{N} \tag{6}$$

			Функция $f(x)=x(2-x)=1-(1-x)^{2}$ это парабола, ветви которой направлены вниз. Максимальное возможное значение функции равно 1 и достигается только при $x=1$ когда поршень остается ровно посередине, то есть никакого процесса не происходит. При любом смещении поршня $x\neq 1$ значение функции строго меньше единицы $f(x)\lt 1$. Так как число молекул в газе макроскопически огромно, то возведение числа, меньшего единицы, в степень $N$ дает величину, практически равную нулю:

			$$\frac{W_{кон}}{W_{нач}}\to 0\Longrightarrow W_{кон}\ll W_{нач} \tag{7}$$

			Вероятность конечного состояния системы при любом сдвиге поршня оказывается статистически ничтожно малой по сравнению с начальной. Согласно второму закону термодинамики, изолированная система не может самопроизвольно перейти в состояние с меньшей термодинамической вероятностью. Поэтому описанный самопроизвольный процесс абсолютно нереален.


	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		Нереален.