Правка разделов «Условие», «Решение», «Фигуры Лиссажу»

igor правка от 12 июн. 2026 г., 08:42

правка #18674 предыдущая #18673 ← раньше позже →

ru/3.4.11.md +56 −2

		@@ -1,11 +1,65 @@
			### Условие

		−	$3.4.11.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$3.4.11^*.$ Два шарика массы $m_1$ и $m_2$, прикрепленные к одинаковым пружинам, могут колебаться, скользя по бруску массы $M$ без трения. Брусок лежит на горизонтальной плоскости. Шарики связаны нитью, сила натяжения которой $F$. Нить пережигают. При каком наименьшем коэффициенте трения между плоскостью и бруском тот не сдвинется с места?

		+	[pic]
		+
		+
			### Решение

		−	~~123~~
		+	Считаем, брусок не двигается. После пережигания нити шары совершают гармонические колебания; силы их пружин меняются гармонически в пределах
		+
		+	$$
		+	[-F;F].
		+	$$
		+
		+	Отсчитываем время $t$ от пережигания, ось $x$ направим вправо. Со стороны левой пружины на брусок в проекции на $x$ действует сила
		+
		+	$$
		+	f_1=F\cos\left(\omega_1t\right),
		+	$$
		+
		+	где $\omega_1$ есть угловая частота колебаний шара $m_1$.
		+
		+	Со стороны правой пружины на брусок в проекции на $x$ действует сила
		+
		+	$$
		+	f_2=-F\cos\left(\omega_2t\right),
		+	$$
		+
		+	где $\omega_2$ есть угловая частота колебаний шара $m_2$.
		+
		+	Условие неподвижности бруска из второго закона Ньютона:
		+
		+	$$
		+	\left\|f_1+f_2\right\|\leqslant\mu\left(M+m_1+m_2\right)g,
		+	$$
		+
		+	где $\mu$ есть коэффициент трения между плоскостью и бруском.
		+
		+	Максимальное возможное значение $\left\|f_1+f_2\right\|$ не может превышать
		+
		+	$$
		+	2F.
		+	$$
		+
		+	Можно обеспечить минимальный коэф. трения $\mu^*=2F/\left[(M+m_1+m_2)g\right]$, при котором брусок не сможет сдвинуться, но есть особенность в анализе соотношения частот колебаний сил $f_1$ и $f_2$…
		+
		+
		+	#### Фигуры Лиссажу
		+
		+	При любых ли частотах достигается максимум $2F$ действия на брусок? Поможет фигура Лиссажу.
		+
		+	В системе перпендикулярных осей, где по одной оси откладывается значение $f_1$, а по другой — значение $f_2$ в процессе колебаний удобно вывести критерий достижения максимума $2F$.
		+
		+	Посмотрим на следующий рисунок, где показано начало вырисовывания фигуры Лиссажу для наугад подобранного соотношения частот колебаний $\omega_1:\omega_2=1:\pi$.
		+
		+
		+
		+
		+
		+	[продолжение следует]

			#### Ответ

			[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]

	@@ -1,11 +1,65 @@
	### Условие		### Условие

	$3.4.11.$ [Вставьте условие задачи]		$3.4.11^*.$ Два шарика массы $m_1$ и $m_2$, прикрепленные к одинаковым пружинам, могут колебаться, скользя по бруску массы $M$ без трения. Брусок лежит на горизонтальной плоскости. Шарики связаны нитью, сила натяжения которой $F$. Нить пережигают. При каком наименьшем коэффициенте трения между плоскостью и бруском тот не сдвинется с места?

			[pic]


	### Решение		### Решение

	~~123~~		Считаем, брусок не двигается. После пережигания нити шары совершают гармонические колебания; силы их пружин меняются гармонически в пределах

			$$
			[-F;F].
			$$

			Отсчитываем время $t$ от пережигания, ось $x$ направим вправо. Со стороны левой пружины на брусок в проекции на $x$ действует сила

			$$
			f_1=F\cos\left(\omega_1t\right),
			$$

			где $\omega_1$ есть угловая частота колебаний шара $m_1$.

			Со стороны правой пружины на брусок в проекции на $x$ действует сила

			$$
			f_2=-F\cos\left(\omega_2t\right),
			$$

			где $\omega_2$ есть угловая частота колебаний шара $m_2$.

			Условие неподвижности бруска из второго закона Ньютона:

			$$
			\left\|f_1+f_2\right\|\leqslant\mu\left(M+m_1+m_2\right)g,
			$$

			где $\mu$ есть коэффициент трения между плоскостью и бруском.

			Максимальное возможное значение $\left\|f_1+f_2\right\|$ не может превышать

			$$
			2F.
			$$

			Можно обеспечить минимальный коэф. трения $\mu^*=2F/\left[(M+m_1+m_2)g\right]$, при котором брусок не сможет сдвинуться, но есть особенность в анализе соотношения частот колебаний сил $f_1$ и $f_2$…


			#### Фигуры Лиссажу

			При любых ли частотах достигается максимум $2F$ действия на брусок? Поможет фигура Лиссажу.

			В системе перпендикулярных осей, где по одной оси откладывается значение $f_1$, а по другой — значение $f_2$ в процессе колебаний удобно вывести критерий достижения максимума $2F$.

			Посмотрим на следующий рисунок, где показано начало вырисовывания фигуры Лиссажу для наугад подобранного соотношения частот колебаний $\omega_1:\omega_2=1:\pi$.





			[продолжение следует]

	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]