Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/12.2.7.md
+37 −4
| @@ -1,13 +1,46 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $12.2.7.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $12.2.7$. На отверстие радиуса $r$ падает перпендикулярно его плоскости плоская синусоидальная волна. Длина волны $\lambda\ll r$. Интенсивность волны по оси отверстия периодически меняется. На каком расстоянии от его центра находится последний максимум? Определите расстояние между максимумами интенсивности на расстоянии $z_0$ от центра отверстия, если $\frac{r^2}{\lambda}\gg z_0 \gg r$. | ||
| + |  | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| + | Разрешённые автором приближения сводят задачу к дифракции Френеля на отверстии. Её принято решать так: волновой фронт разбивается на кольцевые зоны так, что расстояния от границ зон до точки $A$ отличаются на $\lambda/2$. Когда радиус отверстия совпадает с границей нечётной зоны,вторичные волны приходят в фазе, поэтому в точке A амплитуда удваивается, наблюдается максимум интенсивности. Когда же отверстие открывает чётное число зон (граница совпадает с концом второй, четвёртой и т.д. зоны), волны от соседних зон приходят в противофазе и гасят друг друга, давая почти ноль интенсивности (дифракционный минимум). | ||
| − | $12.2.7$. На отверстие радиуса $r$ падает перпендикулярно его плоскости плоская синусоидальная волна. Длина волны $\lambda\ll r$. Интенсивность волны по оси отверстия периодически меняется. На каком расстоянии от его центра находится последний максимум? Определите расстояние между максимумами интенсивности на расстоянии $z_0$ от центра отверстия, если $\frac{r^2}{\lambda}\gg z_0 \gg r$. | ||
| − |  | ||
| + | Найдём радиусы зон Френеля: | ||
| + | $$ | ||
| + | \sqrt{r_m^2 + l^2} - l = \frac{m\lambda}{2} \tag{1} | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | r_m =\sqrt{ml\lambda+\left(\frac{m\lambda}{2}\right)^2}\approx \sqrt{ml\lambda}, \quad m \in N \tag{2} | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | l_m=\frac{r^2}{(2m-1)\lambda}\tag{3}\ - координаты \ максимумов | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | l_{max}=\frac{r^2}{\lambda} \ - последний \ максимум | ||
| + | $$ | ||
| + | Расстояние между соседними максимумами, очевидно: | ||
| + | $$ | ||
| + | l_k = l_{k+1} - l_{k} = \frac{2r^2}{\lambda (2k+1) (2k-1)} | ||
| + | $$ | ||
| + | $\frac{r^2}{\lambda}\gg z_0 \gg r$ поэтому речь идет о очень больших номерах максимумов: | ||
| + | $$ | ||
| + | z_0\approx \frac{r^2}{(2k-1)\lambda} \quad\to\quad \frac{r^2}{\lambda}\gg \frac{r^2}{(2k-1)\lambda}\to k\gg1 | ||
| + | $$ | ||
| + | поэтому | ||
| + | $$ | ||
| + | l_k \approx \frac{2r^2}{\lambda (2k+1)^2} \approx\frac{2\lambda z_0^2}{r^2} | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | Анализируя формулу $(3)$, можно заметить, что вообще говоря максимув в промежутке $z\in[0, l_{max}]$ бесконечно много (в реальности наша теория пока выполняется условие $l_k\gg \lambda$, дальше все несколько сложнее), а расстояние между ними будет стремиться к нулю при $z\to0$. Значит, авторская иллюстрация по сути неверна. Авторские решения также неверны | ||
| + | |||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| + | $$ | ||
| + | \boxed{l=\frac{r^2}{\lambda};\quad l_k \approx \frac{2\lambda z_0^2}{r^2} } | ||
| + | $$ | ||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | |||
| @@ -1,13 +1,46 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $12.2.7.$ [Вставьте условие задачи] | $12.2.7$. На отверстие радиуса $r$ падает перпендикулярно его плоскости плоская синусоидальная волна. Длина волны $\lambda\ll r$. Интенсивность волны по оси отверстия периодически меняется. На каком расстоянии от его центра находится последний максимум? Определите расстояние между максимумами интенсивности на расстоянии $z_0$ от центра отверстия, если $\frac{r^2}{\lambda}\gg z_0 \gg r$. | ||
|  | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Разрешённые автором приближения сводят задачу к дифракции Френеля на отверстии. Её принято решать так: волновой фронт разбивается на кольцевые зоны так, что расстояния от границ зон до точки $A$ отличаются на $\lambda/2$. Когда радиус отверстия совпадает с границей нечётной зоны,вторичные волны приходят в фазе, поэтому в точке A амплитуда удваивается, наблюдается максимум интенсивности. Когда же отверстие открывает чётное число зон (граница совпадает с концом второй, четвёртой и т.д. зоны), волны от соседних зон приходят в противофазе и гасят друг друга, давая почти ноль интенсивности (дифракционный минимум). | |||
| $12.2.7$. На отверстие радиуса $r$ падает перпендикулярно его плоскости плоская синусоидальная волна. Длина волны $\lambda\ll r$. Интенсивность волны по оси отверстия периодически меняется. На каком расстоянии от его центра находится последний максимум? Определите расстояние между максимумами интенсивности на расстоянии $z_0$ от центра отверстия, если $\frac{r^2}{\lambda}\gg z_0 \gg r$. | |||
|  | |||
| Найдём радиусы зон Френеля: | |||
| $$ | |||
| \sqrt{r_m^2 + l^2} - l = \frac{m\lambda}{2} \tag{1} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| r_m =\sqrt{ml\lambda+\left(\frac{m\lambda}{2}\right)^2}\approx \sqrt{ml\lambda}, \quad m \in N \tag{2} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| l_m=\frac{r^2}{(2m-1)\lambda}\tag{3}\ - координаты \ максимумов | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| l_{max}=\frac{r^2}{\lambda} \ - последний \ максимум | |||
| $$ | |||
| Расстояние между соседними максимумами, очевидно: | |||
| $$ | |||
| l_k = l_{k+1} - l_{k} = \frac{2r^2}{\lambda (2k+1) (2k-1)} | |||
| $$ | |||
| $\frac{r^2}{\lambda}\gg z_0 \gg r$ поэтому речь идет о очень больших номерах максимумов: | |||
| $$ | |||
| z_0\approx \frac{r^2}{(2k-1)\lambda} \quad\to\quad \frac{r^2}{\lambda}\gg \frac{r^2}{(2k-1)\lambda}\to k\gg1 | |||
| $$ | |||
| поэтому | |||
| $$ | |||
| l_k \approx \frac{2r^2}{\lambda (2k+1)^2} \approx\frac{2\lambda z_0^2}{r^2} | |||
| $$ | |||
| Анализируя формулу $(3)$, можно заметить, что вообще говоря максимув в промежутке $z\in[0, l_{max}]$ бесконечно много (в реальности наша теория пока выполняется условие $l_k\gg \lambda$, дальше все несколько сложнее), а расстояние между ними будет стремиться к нулю при $z\to0$. Значит, авторская иллюстрация по сути неверна. Авторские решения также неверны | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | |||
| \boxed{l=\frac{r^2}{\lambda};\quad l_k \approx \frac{2\lambda z_0^2}{r^2} } | |||
| $$ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | |||