Решение

Если говорить подробнее, то если второе правило Кирхгофа для цепи $RLC$ [1]

$$iR+L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0,$$

где $i$ есть ток в контуре, $q/C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $q$ зависят от времени),

продифференцировать по $t$, то можно получить диффур

$$\frac{d^2i}{dt^2}+2\gamma\frac{di}{dt}+\omega_0^2i=0,$$

где $\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы.

Этот диффур в общем имеет разные решения [1, 2], но только одно из них имеет вид колебаний, как и говорится в задаче, а именно решение:

$$i=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right),\tag{1}$$

где $a$ и $\delta$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояний системы, в которых про эту систему что-то известно; $\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2$.

Итак, в нашей задаче ток меняются как затухающий синус (см. рисунок далее).

Пусть в момент $t=0$ амплитуда из $(1)$ равна

$$A_1=ae^{-\gamma\cdot0}=a,$$

а в момент $t=\tau$ амплитуда равна

$$A_2=ae^{-\gamma\tau}=ae^{-\tfrac{R}{2L}\tau}.$$

Тогда по задаче

$$\frac{A_1}{A_2}=e^{\tfrac{R}{2L}\tau}=2.$$

Откуда

$$R=\frac{2L\ln2}{\tau}\approx1{,}4\cdot10^{-3}~\text{Ом}.$$

Ответ не зависит от емкости $C$.