Решение

Максимальный ток

Из второго правила Кирхгофа

$$L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=\mathscr E,\tag{1}$$

где $i$ есть ток в цепи, $q$ есть заряд конденсатора.

Продифференцируем $(1)$ по $t$ и поделим на $L$:

$$\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{1}{LC}i=0,$$

что есть уравнение гармонических колебаний $\ddot x+\omega^2x=0$.

Общее решение

$$i=A\cos\omega t+B\sin\omega t,\tag{2}$$

где $A$ и $B$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояния с известными данными, $\omega^2=\frac{1}{LC}$.

При $t=0$ имеем $i=0$, значит, из $(2)$ получается $A=0$.

Для тока остается

$$i=B\sin\omega t.$$

Еще при $t=0$ известно $q=0$. Тогда идем в $(1)$ с учетом этого в момент $t=0$:

$$L\left.\frac{di}{dt}\right|_0=\mathscr E$$

где $\left.\frac{di}{dt}\right|_0$ есть значение производной тока в момент $t=0$. Что дает после подстановки предыдущего

$$B=\frac{\mathscr E}{L\omega}.$$

Итак, закон тока

$$i=\frac{\mathscr E}{L\omega}\sin\omega t$$

и максимальный ток

$$\boxed{I_\text{m}=\frac{\mathscr E}{L\omega}=\mathscr E\sqrt{C/L}.}$$

Максимальный заряд

Из определения тока заряд

$$q=\int i\,dt.$$

Подставляем $i(t)$ и интегрируем

$$q=-\frac{\mathscr E}{L\omega^2}\cos\omega t+D,$$

где $D$ есть постоянная интегрирования.

При $t=0$ имеем $q=0$, значит, $D=\frac{\mathscr E}{L\omega^2}$.

Итог для заряда

$$q=\frac{\mathscr E}{L\omega^2}\left(1-\cos\omega t\right).$$

Максимальный заряд при максимуме $2$, достигаемого выражением в скобках:

$$\boxed{q_\text{m}=2\frac{\mathscr E}{L\omega^2}=2\mathscr EС.}$$