Правка разделов «Statement», «Solution», «Answer»

naz правка от 15 июн. 2026 г., 19:16

правка #18840 предыдущая #18839 ← раньше позже →

en/10.1.24.md +7 −3

		@@ -1,11 +1,13 @@
			### Statement

		−	$10.1.24.$ [Insert the problem statement]
		+	$10.1.24.$ а. Электрон движется в однородном магнитном поле по окружности. Через него проводят любую другую окружность, ось $OO′$ которой направле на вдоль магнитного поля. Покажите, что сумма $M +(1/2π)eΦ$, где $Φ$ — поток магнитного поля через эту окружность, а $M$ — момент импульса электрона от носительно оси $OO′$, не зависит от положения электрона.

		+	б. Покажите, что сумма $M +(1/2π)eΦ$ не меняется в случае движения электрона в однородном магнитном поле по винтовой линии
		+
			### Solution

			а)
		−	Рассмотрим две окружности, одну радиусом $R$, по ней вращается электрон, другую на оси, которая находится на расстоянии $d$ от центра первой. Рассмотрим момент времени когда R образует с d угол $\alpha$. Момент импульса есть произведение импульса на плечо - перпендикуляр от оси к прямой на которой лежит вектор скорости. В нашем случае, при $$R < d$$:
		+	Рассмотрим две окружности, одну радиусом $R$, по ней вращается электрон, другую на оси, которая находится на расстоянии $d$ от центра первой. Рассмотрим момент времени когда R образует с d угол $\alpha$. Момент импульса есть произведение импульса на плечо - перпендикуляр от оси к прямой на которой лежит вектор скорости. В нашем случае, при $R < d$:

			$$h = dcos\alpha - R$$

			А момент импульса, вспомнив выражение для импульса через радиус орбиты:

			$$M = m \upsilon (dcos\alpha - R)=BeRdcos\alpha - BeR^2$$

			Поток через побочную окружность равен:

			$$\Phi = B\pi R^2 = B \pi (R^2 + d^2 - 2Rdcos\alpha)$$

			Подставим все в наш искомый инвариант:

			$$M + \frac{1}{2\pi} e \Phi = BeRdcos\alpha - BeR^2 + \frac{BeR^2}{2} + \frac{Bed^2}{2} - BeRdcos \alpha = \frac{Be(d^2-R^2)}{2}$$

			Как видим зависимости от положения действительно нет.

			б)

			При движении по спирали у нас появляется две компоненты скорости, однако параллельная оси компонента не вносит вклад в проекцию момента импульса на ось магнитного поля, а сложение скаляра потока и модуля момента импульса имеет смысл только в смысле проекции на ось перпендикулярную сечению




		@@ -33,4 +35,6 @@Solution

			#### Answer

		−	[Insert a concise answer or boxed result]
		+	а) Ч.т.д.
		+
		+	б) Ч.т.д.

	@@ -1,11 +1,13 @@
	### Statement		### Statement

	$10.1.24.$ [Insert the problem statement]		$10.1.24.$ а. Электрон движется в однородном магнитном поле по окружности. Через него проводят любую другую окружность, ось $OO′$ которой направле на вдоль магнитного поля. Покажите, что сумма $M +(1/2π)eΦ$, где $Φ$ — поток магнитного поля через эту окружность, а $M$ — момент импульса электрона от носительно оси $OO′$, не зависит от положения электрона.

			б. Покажите, что сумма $M +(1/2π)eΦ$ не меняется в случае движения электрона в однородном магнитном поле по винтовой линии

	### Solution		### Solution

	а)		а)
	Рассмотрим две окружности, одну радиусом $R$, по ней вращается электрон, другую на оси, которая находится на расстоянии $d$ от центра первой. Рассмотрим момент времени когда R образует с d угол $\alpha$. Момент импульса есть произведение импульса на плечо - перпендикуляр от оси к прямой на которой лежит вектор скорости. В нашем случае, при $$R < d$$:		Рассмотрим две окружности, одну радиусом $R$, по ней вращается электрон, другую на оси, которая находится на расстоянии $d$ от центра первой. Рассмотрим момент времени когда R образует с d угол $\alpha$. Момент импульса есть произведение импульса на плечо - перпендикуляр от оси к прямой на которой лежит вектор скорости. В нашем случае, при $R < d$:

	$$h = dcos\alpha - R$$		$$h = dcos\alpha - R$$

	А момент импульса, вспомнив выражение для импульса через радиус орбиты:		А момент импульса, вспомнив выражение для импульса через радиус орбиты:

	$$M = m \upsilon (dcos\alpha - R)=BeRdcos\alpha - BeR^2$$		$$M = m \upsilon (dcos\alpha - R)=BeRdcos\alpha - BeR^2$$

	Поток через побочную окружность равен:		Поток через побочную окружность равен:

	$$\Phi = B\pi R^2 = B \pi (R^2 + d^2 - 2Rdcos\alpha)$$		$$\Phi = B\pi R^2 = B \pi (R^2 + d^2 - 2Rdcos\alpha)$$

	Подставим все в наш искомый инвариант:		Подставим все в наш искомый инвариант:

	$$M + \frac{1}{2\pi} e \Phi = BeRdcos\alpha - BeR^2 + \frac{BeR^2}{2} + \frac{Bed^2}{2} - BeRdcos \alpha = \frac{Be(d^2-R^2)}{2}$$		$$M + \frac{1}{2\pi} e \Phi = BeRdcos\alpha - BeR^2 + \frac{BeR^2}{2} + \frac{Bed^2}{2} - BeRdcos \alpha = \frac{Be(d^2-R^2)}{2}$$

	Как видим зависимости от положения действительно нет.		Как видим зависимости от положения действительно нет.

	б)		б)

	При движении по спирали у нас появляется две компоненты скорости, однако параллельная оси компонента не вносит вклад в проекцию момента импульса на ось магнитного поля, а сложение скаляра потока и модуля момента импульса имеет смысл только в смысле проекции на ось перпендикулярную сечению		При движении по спирали у нас появляется две компоненты скорости, однако параллельная оси компонента не вносит вклад в проекцию момента импульса на ось магнитного поля, а сложение скаляра потока и модуля момента импульса имеет смысл только в смысле проекции на ось перпендикулярную сечению




	@@ -33,4 +35,6 @@Solution

	#### Answer		#### Answer

	[Insert a concise answer or boxed result]		а) Ч.т.д.

			б) Ч.т.д.