| @@ -1,40 +1,40 @@ |
| ### Statement |
| ### Statement |
| |
| |
| $10.1.24.$ а. Электрон движется в однородном магнитном поле по окружности. Через него проводят любую другую окружность, ось $OO′$ которой направле на вдоль магнитного поля. Покажите, что сумма $M +(1/2π)eΦ$, где $Φ$ — поток магнитного поля через эту окружность, а $M$ — момент импульса электрона от носительно оси $OO′$, не зависит от положения электрона. |
| $10.1.24.$ a. An electron moves in a uniform magnetic field around a circle. Any other circle is drawn through it, the $OO'$ axis of which is directed along the magnetic field. Show that the sum of $M +(1/2π)eΦ$, where $Φ$ is the magnetic field flux through this circle, and $M$ is the angular momentum of the electron relative to the $OO'$ axis, does not depend on the position of the electron. |
| |
| |
| б. Покажите, что сумма $M +(1/2π)eΦ$ не меняется в случае движения электрона в однородном магнитном поле по винтовой линии |
| b. Show that the sum of $M +(1/2π)eΦ$ does not change in the case of an electron moving in a homogeneous magnetic field along a helical line |
| |
| |
| ### Solution |
| ### Solution |
| |
| |
| а) |
| a) |
| Рассмотрим две окружности, одну радиусом $R$, по ней вращается электрон, другую на оси, которая находится на расстоянии $d$ от центра первой. Рассмотрим момент времени когда R образует с d угол $\alpha$. Момент импульса есть произведение импульса на плечо - перпендикуляр от оси к прямой на которой лежит вектор скорости. В нашем случае, при $R < d$: |
| Consider two circles, one with a radius of $R$, along which an electron rotates, the other on an axis that is located at a distance of $d$ from the center of the first. Consider the moment in time when R forms an angle with d $\alpha$. The angular momentum is the product of the momentum on the shoulder, which is perpendicular from the axis to the straight line on which the velocity vector lies. In our case, for $R < d$: |
| |
| |
| $$h = dcos\alpha - R$$ |
| $$h = dcos\alpha - R$$ |
| |
| |
| А момент импульса, вспомнив выражение для импульса через радиус орбиты: |
| And the angular momentum, remembering the expression for momentum in terms of the radius of the orbit: |
| |
| |
| $$M = m \upsilon (dcos\alpha - R)=BeRdcos\alpha - BeR^2$$ |
| $$M = m \upsilon (dcos\alpha - R)=BeRdcos\alpha - BeR^2$$ |
| |
| |
| Поток через побочную окружность равен: |
| The flow through the side circle is: |
| |
| |
| $$\Phi = B\pi R^2 = B \pi (R^2 + d^2 - 2Rdcos\alpha)$$ |
| $$\Phi = B\pi R^2 = B \pi (R^2 + d^2 - 2Rdcos\alpha)$$ |
| |
| |
| Подставим все в наш искомый инвариант: |
| Let's substitute everything into our desired invariant: |
| |
| |
| $$M + \frac{1}{2\pi} e \Phi = BeRdcos\alpha - BeR^2 + \frac{BeR^2}{2} + \frac{Bed^2}{2} - BeRdcos \alpha = \frac{Be(d^2-R^2)}{2}$$ |
| $$M + \frac{1}{2\pi} e \Phi = BeRdcos\alpha - BeR^2 + \frac{BeR^2}{2} + \frac{Bed^2}{2} - BeRdcos \alpha = \frac{Be(d^2-R^2)}{2}$$ |
| |
| |
| Как видим зависимости от положения действительно нет. |
| As you can see, there really is no dependence on the position. |
| |
| |
| б) |
| b) |
| |
| |
| При движении по спирали у нас появляется две компоненты скорости, однако параллельная оси компонента не вносит вклад в проекцию момента импульса на ось магнитного поля, а сложение скаляра потока и модуля момента импульса имеет смысл только в смысле проекции на ось перпендикулярную сечению |
| When moving in a spiral, we have two velocity components, however, the component parallel to the axis does not contribute to the projection of the angular momentum onto the axis of the magnetic field, and the addition of the scalar of the flow and the angular momentum module makes sense only in the sense of projection onto the axis perpendicular to the section. |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| #### Answer |
| #### Answer |
| |
| |
| а) Ч.т.д. |
| а) Q.E.D |
| |
| |
| б) Ч.т.д. |
| b) Q.E.D |
