Правка разделов «Условие», «Решение», «Литература»

igor правка от
Посмотреть решение История
правка #18902 предыдущая #18901 ← раньше позже →
ru/11.4.10.md +103 −3
@@ -1,11 +1,111 @@
### Условие
−$11.4.10.$ [Вставьте условие задачи]
+$11.4.10.$ Найдите максимальный ток в катушках индуктивности $L_1$ и $L_2$ после замыкания ключа $K$ в цепи, изображенной на рисунке. Емкость конденсатора $C$, начальное напряжение на нем $V$.
+![К задаче $11.4.10$|412x212, 100%](../../img/11.4.10/11.4.10.png)
+
+
### Решение
−12
+Для согласования знаков величин нужно выбрать направления токов. Пусть ток $i$ через конденсатор направлен вверх, через катушки $L_1,L_2$ токи $i_1,i_2$ — вниз. Положительно заряженная обкладка конденсатора верхняя.
+По второму правилу Кирхгофа для $CL_1$ контура (по часовой стрелке)
+
+$$
+-\frac{q}{C}+L_1\frac{di_1}{dt}=0;\tag{1}
+$$
+
+напряжение на конденсаторе отрицательно, так как при выбранном напрявлении обхода контура напряжение на конденсаторе встречно обходу (положительное направление напряжения от плюса к минусу).
+
+Дифференцируем по $t$ предыдущее с учетом $dq/dt=-i$ (отрицательное изменение заряда на положительной обкладке конденсатора равно положительному заряду, унесенному присоединенным проводом)
+
+$$
+\frac{i}{C}+L_1\frac{d^2i_1}{dt^2}=0.
+$$
+
+По первому правилу Кирхгофа $i=i_1+i_2$. Тогда
+
+$$
+\frac{i_1+i_2}{C}+L_1\frac{d^2i_1}{dt^2}=0.
+$$
+
+Из второго правила Кирхгофа для $L_1L_2$ контура (по часовой стрелке): $L_2di_2/dt-L_1di_1/dt=0$, что после интегрирования дает $L_2i_2-L_1i_1=0$ (учтено для постоянной интегрирования, что при $t=0$ имеем $i_1=0$ и $i_2=0$). Используем это для предыдущего с преобразованиями
+
+$$
+\frac{1}{CL_1}\left(1+\frac{L_1}{L_2}\right)i_1+\frac{d^2i_1}{dt^2}=0,
+$$
+
+что есть уравнение гармонических колебаний $\ddot x+\omega^2x=0$
+
+Общее решение:
+
+$$
+i_1=A\cos\omega t+B\sin\omega t,
+$$
+
+где $A$ и $B$ есть постоянные, которые находят из состояний с известными данными.
+
+В нашем случае
+
+$$
+\omega^2=\frac{1}{CL_1}\left(1+\frac{L_1}{L_2}\right).\tag{2}
+$$
+
+Определяем постоянные $A$ и $B$. При $t=0$ имеем $i_1=0$, то есть $A=0$.
+
+Для $i_1$ остается
+
+$$
+i_1=B\sin\omega t.
+$$
+
+При $t=0$ также знаем в самом первом уравнении $(1)$, что $q/C\equiv V$. Значит $-V+L_1\left.\frac{di_1}{dt}\right|_0$, где $\left.\frac{di_1}{dt}\right|_0$ есть значение производной функции $i_1$ по $t$ при $t=0$. Откуда $B=\frac{V}{L_1\omega}$.
+
+Итак, для тока $i_1$
+
+$$
+i_1=\frac{V}{L_1\omega}\sin\omega t.
+$$
+
+Поэтому максимальный ток в первой катушке
+
+$$
+I_\text{1m}=\frac{V}{L_1\omega},
+$$
+
+что с учетом значения для $\omega$ по $(2)$ дает
+
+$$
+\boxed{I_\text{1m}=V\sqrt{\frac{CL_2}{L_1\left(L_1+L_2\right)}}.}
+$$
+
+Из полученного равенства $L_2i_2-L_1i_1=0$ берем $i_2$:
+
+$$
+i_2=\frac{L_1}{L_2}i_1,
+$$
+
+что дает после аналогичных рассуждений
+
+$$
+\boxed{I_\text{2m}=V\sqrt{\frac{CL_1}{L_2\left(L_1+L_2\right)}}.}
+$$
+
+
+#### Литература
+
+[1] В.В. Можаев. Катушки индуктивности в электрических цепях. «Квант», 1998, №4.
+
+[2] И. Яковлев. Дифференциальные уравнения. Материалы по физике. mathus.ru.
+
+[3] И. Яковлев. Физика. Электромагнитные колебания. mathus.ru.
+
+[2] Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников. ИТФ Ландау. 1982.
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+I_\text{1m}=V\sqrt{\frac{CL_2}{L_1\left(L_1+L_2\right)}},\quad
+I_\text{2m}=V\sqrt{\frac{CL_1}{L_2\left(L_1+L_2\right)}}.
+$$