11.4.10. Найдите максимальный ток в катушках индуктивности $L_1$ и $L_2$ после замыкания ключа $K$ в цепи, изображенной на рисунке. Емкость конденсатора $C$, начальное напряжение на нем $V$.
К задаче $11.4.10$
Решение
Для согласования знаков величин нужно выбрать направления токов. Пусть ток $i$ через конденсатор направлен вверх, через катушки $L_1,L_2$ токи $i_1,i_2$ — вниз. Положительно заряженная обкладка конденсатора верхняя.
По второму правилу Кирхгофа для $CL_1$ контура (по часовой стрелке)
$$-\frac{q}{C}+L_1\frac{di_1}{dt}=0;\tag{1}$$
напряжение на конденсаторе отрицательно, так как при выбранном напрявлении обхода контура напряжение на конденсаторе встречно обходу (положительное направление напряжения от плюса к минусу).
Дифференцируем по $t$ предыдущее с учетом $dq/dt=-i$ (отрицательное изменение заряда на положительной обкладке конденсатора равно положительному заряду, унесенному присоединенным проводом)
$$\frac{i}{C}+L_1\frac{d^2i_1}{dt^2}=0.$$
По первому правилу Кирхгофа $i=i_1+i_2$. Тогда
$$\frac{i_1+i_2}{C}+L_1\frac{d^2i_1}{dt^2}=0.$$
Из второго правила Кирхгофа для $L_1L_2$ контура (по часовой стрелке): $L_2di_2/dt-L_1di_1/dt=0$, что после интегрирования дает $L_2i_2-L_1i_1=0$ (учтено для постоянной интегрирования, что при $t=0$ имеем $i_1=0$ и $i_2=0$). Используем это для предыдущего с преобразованиями
Определяем постоянные $A$ и $B$. При $t=0$ имеем $i_1=0$, то есть $A=0$.
Для $i_1$ остается
$$i_1=B\sin\omega t.$$
При $t=0$ также знаем в самом первом уравнении $(1)$, что $q/C\equiv V$. Значит $-V+L_1\left.\frac{di_1}{dt}\right|_0$, где $\left.\frac{di_1}{dt}\right|_0$ есть значение производной функции $i_1$ по $t$ при $t=0$. Откуда $B=\frac{V}{L_1\omega}$.
