Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

jzmicer правка от
Посмотреть решение История
правка #18978 предыдущая #18977 ← раньше
ru/14.1.24.md +63 −5
@@ -1,11 +1,69 @@
+
### Условие
+$14.1.24^∗$ . $\pi^0$ -Мезоны, имеющие одинаковую скорость $\beta c$, распадаются на $\gamma$-кванты:
+$$
+\pi^0\to \gamma + \gamma
+$$
+Какая часть γ-квантов движется под углами к скорости $βc$, меньшими $\frac{\pi}{2}$?
−$14.1.24.$ [Вставьте условие задачи]
−
### Решение
−1
+Сначала перейдём в систему покоя $\pi^0$ -мезонов. Обозначим в этой системе углы к скорости $βc$ как $\theta$. Очевидно, для выполнения ЗСИ фотоны каждой пары будут разлетаться строго противоположно, но в целом изотропно - все $\theta$ для прямой, вдоль которой разлетаются фотоны, равновероятны.
−#### Ответ
+Теперь перейдём в лабораторную систему. Нам надо найти распределение как изменятся углы. Это можно сделать и используя готовую формулу для аберрации света, но я покажу вывод с помоцью преобразований Лоренца для 4-импульса. Учтём, что для фотона $E=pc$, поэтому записывать полные преобразования необязательно, достаточно
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+\begin{pmatrix}
+p' \\\\
+p_x'
+\end{pmatrix}=
+\begin{pmatrix}
+p \\\\
+p_x
+\end{pmatrix}\cdot
+\begin{pmatrix}
+\gamma & \beta\gamma \\\\
+\beta\gamma & \gamma
+\end{pmatrix}
+$$
+
+$$
+p' \begin{pmatrix}
+1\\\\
+\cos\theta'
+\end{pmatrix}=\gamma p
+\begin{pmatrix}
+1 \\\\
+\cos\theta
+\end{pmatrix}\cdot
+\begin{pmatrix}
+1 & \beta \\\\
+\beta& 1
+\end{pmatrix}=\gamma p
+\begin{pmatrix}
+1+\beta\cos\theta \\\\
+\beta+\cos\theta
+\end{pmatrix}
+$$
+$$
+\cos\theta'=\frac{p_x'}{p'}=\frac{\beta+\cos\theta}{1+\beta\cos\theta }
+$$
+Работа с полной матрицей даст такой же результат
+
+Условие $\theta'<\frac{\pi}{2}$ равнозначно $\cos\theta'>0$
+$$
+0<\beta<1;\ \cos\theta\ge -1\quad \to \quad 1+\beta\cos\theta>0 - всегда
+$$
+Тогда условие можно переписать как
+$$
+\cos\theta>-\beta
+$$
+Тогда вероятность, учитывая изотропию $\theta$ , найдем так ($k$- нормировочный коэффициент, подобранный таким образом, чтобы полная вероятность была равна 1)
+$$
+N=\frac{\int_{-\beta}^1k\ d(cos\theta)}{\int_{-1}^1k\ d(cos\theta)}=\frac{1+\beta}{2}
+$$
+
+#### Ответ
+$$
+\boxed{N=\frac{1+\beta}{2}}
+$$