Правка разделов «Условие», «Решение», «1-ый вариант решения»

Adler правка от 17 июн. 2026 г., 22:08

правка #19004 предыдущая #19003 ← раньше

ru/6.6.19.md +52 −6

		@@ -1,11 +1,57 @@
		−	### Условие
		+	## Условие

		−	$6.6.19.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$6.6.19.$ Металлический шар радиусом $r$ с зарядом $Q$ окружён слоем жидкого диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$. Внешний радиус слоя равен $R$.Найдите давление диэлектрика на шар.

		−	### Решение
		+	## Решение
		+	### 1-ый вариант решения.
		+	### 1. Формула для нахождения давления.
		+	Воспользуемся формулой давления на границе проводник-жидкий диэлектрик
		+	\[
		+	\boxed{p = \frac{\varepsilon_{0}(\varepsilon - 1)}{2}E^{2}}
		+	\]

		−	321
		+	Эта формула является общеизвестной (ибо вывод её следует из тензора натяжений Максвелла или можно вывести её энергетическим способом, но там будет ряд уравнений с производными и частыми производными).

		−	###~~# Ответ~~
		+	### 2. Нахождение давления.

		−	~~[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]~~
		+	$p(y) = \frac{\varepsilon_{0}(\varepsilon - 1)}{2}E(y)^{2}$.
		+
		+	$P = P(r) - P(R)$, тогда вместо $y$ подставляем наши радиусы.
		+
		+	$P = \frac{\varepsilon_{0}(\varepsilon - 1)}{2} \frac{Q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}^{2}\varepsilon^{2}r^{4}} - \frac{\varepsilon_{0}(\varepsilon - 1)}{2} \frac{Q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}^{2}\varepsilon^{2}R^{4}} = \frac{Q^{2}(\varepsilon - 1)}{32\pi\varepsilon_{0}\varepsilon^{2}}(\frac{1}{r^{4}} - \frac{1}{R^{4}})$
		+
		+	у Савченко $P = \frac{Q^{2}(\varepsilon - 1)}{32\pi\varepsilon_{0}\varepsilon}(\frac{1}{r^{4}} - \frac{1}{R^{4}})$ т.е. у него ответ в $\varepsilon$ раз больше моего, быть может опечатка.
		+
		+	### 2-ой способ решения (более наглядный).
		+
		+	#### 0. Суть решения.
		+	суть этого решения в том, что диэлектрик поляризуется, на его поверхности возникают связанные заряды. Сила, действующая на эти заряды со стороны поля шара, и даёт давление.
		+
		+	### 1. Нахождение давления путем нахождения связи с поляризованностью диэлектрика.
		+
		+	$P = \varepsilon_{0}(\varepsilon - 1)E$
		+
		+	Объёмный связанный заряд равен нулю (т.к. $\varepsilon$ = const), а поверхностные связанные заряды есть на внутренней и внешней границах:
		+
		+	$\sigma_{св} = P*n$
		+
		+	на внутренней границе: $\sigma(r)=-\varepsilon_{0}(\varepsilon - 1)E(r) = - \frac{(\varepsilon - 1)Q}{4\pi\varepsilon r^{2}}$
		+	на внешней границе: $\sigma(R)=\varepsilon_{0}(\varepsilon - 1)E(R) = \frac{(\varepsilon - 1)Q}{4\pi\varepsilon R^{2}}$
		+
		+	Сила действующая на единицу площади внутренней поверхности:
		+
		+	$p(r)= \frac{1}{2}\sigma_{св}(r)E(r)$
		+
		+	($\frac{1}{2}$ тут появляется т.к. поле на поверхности это среднее от поля в диэлектрике и нуля внутри проводника.)
		+
		+	Аналогично для p(R), но там поле создаётся всеми зарядами.
		+
		+	$P = p(r) - p(R) = \frac{Q^{2}(\varepsilon - 1)}{32\pi\varepsilon_{0}\varepsilon^{2}}(\frac{1}{r^{4}} - \frac{1}{R^{4}})$
		+
		+	И опять я получил расхождение в значениях с Савченко.
		+
		+	## Ответ
		+
		+	\[
		+	\boxed{P = \frac{Q^{2}(\varepsilon - 1)}{32\pi\varepsilon_{0}\varepsilon^{2}}(\frac{1}{r^{4}} - \frac{1}{R^{4}})}
		+	\]

	@@ -1,11 +1,57 @@
	### Условие		## Условие

	$6.6.19.$ [Вставьте условие задачи]		$6.6.19.$ Металлический шар радиусом $r$ с зарядом $Q$ окружён слоем жидкого диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$. Внешний радиус слоя равен $R$.Найдите давление диэлектрика на шар.

	### Решение		## Решение
			### 1-ый вариант решения.
			### 1. Формула для нахождения давления.
			Воспользуемся формулой давления на границе проводник-жидкий диэлектрик
			\[
			\boxed{p = \frac{\varepsilon_{0}(\varepsilon - 1)}{2}E^{2}}
			\]

	321		Эта формула является общеизвестной (ибо вывод её следует из тензора натяжений Максвелла или можно вывести её энергетическим способом, но там будет ряд уравнений с производными и частыми производными).

	###~~# Ответ~~		### 2. Нахождение давления.

	~~[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]~~		$p(y) = \frac{\varepsilon_{0}(\varepsilon - 1)}{2}E(y)^{2}$.

			$P = P(r) - P(R)$, тогда вместо $y$ подставляем наши радиусы.

			$P = \frac{\varepsilon_{0}(\varepsilon - 1)}{2} \frac{Q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}^{2}\varepsilon^{2}r^{4}} - \frac{\varepsilon_{0}(\varepsilon - 1)}{2} \frac{Q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}^{2}\varepsilon^{2}R^{4}} = \frac{Q^{2}(\varepsilon - 1)}{32\pi\varepsilon_{0}\varepsilon^{2}}(\frac{1}{r^{4}} - \frac{1}{R^{4}})$

			у Савченко $P = \frac{Q^{2}(\varepsilon - 1)}{32\pi\varepsilon_{0}\varepsilon}(\frac{1}{r^{4}} - \frac{1}{R^{4}})$ т.е. у него ответ в $\varepsilon$ раз больше моего, быть может опечатка.

			### 2-ой способ решения (более наглядный).

			#### 0. Суть решения.
			суть этого решения в том, что диэлектрик поляризуется, на его поверхности возникают связанные заряды. Сила, действующая на эти заряды со стороны поля шара, и даёт давление.

			### 1. Нахождение давления путем нахождения связи с поляризованностью диэлектрика.

			$P = \varepsilon_{0}(\varepsilon - 1)E$

			Объёмный связанный заряд равен нулю (т.к. $\varepsilon$ = const), а поверхностные связанные заряды есть на внутренней и внешней границах:

			$\sigma_{св} = P*n$

			на внутренней границе: $\sigma(r)=-\varepsilon_{0}(\varepsilon - 1)E(r) = - \frac{(\varepsilon - 1)Q}{4\pi\varepsilon r^{2}}$
			на внешней границе: $\sigma(R)=\varepsilon_{0}(\varepsilon - 1)E(R) = \frac{(\varepsilon - 1)Q}{4\pi\varepsilon R^{2}}$

			Сила действующая на единицу площади внутренней поверхности:

			$p(r)= \frac{1}{2}\sigma_{св}(r)E(r)$

			($\frac{1}{2}$ тут появляется т.к. поле на поверхности это среднее от поля в диэлектрике и нуля внутри проводника.)

			Аналогично для p(R), но там поле создаётся всеми зарядами.

			$P = p(r) - p(R) = \frac{Q^{2}(\varepsilon - 1)}{32\pi\varepsilon_{0}\varepsilon^{2}}(\frac{1}{r^{4}} - \frac{1}{R^{4}})$

			И опять я получил расхождение в значениях с Савченко.

			## Ответ

			\[
			\boxed{P = \frac{Q^{2}(\varepsilon - 1)}{32\pi\varepsilon_{0}\varepsilon^{2}}(\frac{1}{r^{4}} - \frac{1}{R^{4}})}
			\]