Электростатика > Электрическое поле при наличии диэлектрика > Задача 6.6.19

Условие

$6.6.19.$ Металлический шар радиусом $r$ с зарядом $Q$ окружён слоем жидкого диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$. Внешний радиус слоя равен $R$.Найдите давление диэлектрика на шар.

Решение

1-ый вариант решения.

1. Формула для нахождения давления.

Воспользуемся формулой давления на границе проводник-жидкий диэлектрик
\[
\boxed{p = \frac{\varepsilon_{0}(\varepsilon - 1)}{2}E^{2}}
\]

Эта формула является общеизвестной (ибо вывод её следует из тензора натяжений Максвелла или можно вывести её энергетическим способом, но там будет ряд уравнений с производными и частыми производными).

2. Нахождение давления.

$p(y) = \frac{\varepsilon_{0}(\varepsilon - 1)}{2}E(y)^{2}$.

$P = P(r) - P(R)$, тогда вместо $y$ подставляем наши радиусы.

$P = \frac{\varepsilon_{0}(\varepsilon - 1)}{2} \frac{Q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}^{2}\varepsilon^{2}r^{4}} - \frac{\varepsilon_{0}(\varepsilon - 1)}{2} \frac{Q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}^{2}\varepsilon^{2}R^{4}} = \frac{Q^{2}(\varepsilon - 1)}{32\pi\varepsilon_{0}\varepsilon^{2}}(\frac{1}{r^{4}} - \frac{1}{R^{4}})$

у Савченко $P = \frac{Q^{2}(\varepsilon - 1)}{32\pi\varepsilon_{0}\varepsilon}(\frac{1}{r^{4}} - \frac{1}{R^{4}})$ т.е. у него ответ в $\varepsilon$ раз больше моего, быть может опечатка.

2-ой способ решения (более наглядный).

0. Суть решения.

суть этого решения в том, что диэлектрик поляризуется, на его поверхности возникают связанные заряды. Сила, действующая на эти заряды со стороны поля шара, и даёт давление.

1. Нахождение давления путем нахождения связи с поляризованностью диэлектрика.

$P = \varepsilon_{0}(\varepsilon - 1)E$

Объёмный связанный заряд равен нулю (т.к. $\varepsilon$ = const), а поверхностные связанные заряды есть на внутренней и внешней границах:

$\sigma_{св} = P*n$

на внутренней границе: $\sigma(r)=-\varepsilon_{0}(\varepsilon - 1)E(r) = - \frac{(\varepsilon - 1)Q}{4\pi\varepsilon r^{2}}$
на внешней границе: $\sigma(R)=\varepsilon_{0}(\varepsilon - 1)E(R) = \frac{(\varepsilon - 1)Q}{4\pi\varepsilon R^{2}}$

Сила действующая на единицу площади внутренней поверхности:

$p(r)= \frac{1}{2}\sigma_{св}(r)E(r)$

($\frac{1}{2}$ тут появляется т.к. поле на поверхности это среднее от поля в диэлектрике и нуля внутри проводника.)

Аналогично для p(R), но там поле создаётся всеми зарядами.

$P = p(r) - p(R) = \frac{Q^{2}(\varepsilon - 1)}{32\pi\varepsilon_{0}\varepsilon^{2}}(\frac{1}{r^{4}} - \frac{1}{R^{4}})$

И опять я получил расхождение в значениях с Савченко.

Ответ

\[
\boxed{P = \frac{Q^{2}(\varepsilon - 1)}{32\pi\varepsilon_{0}\varepsilon^{2}}(\frac{1}{r^{4}} - \frac{1}{R^{4}})}
\]