Решение

В системе центра масс суммарный импульс частиц до захвата равен нулю, энергия взаимодействия частиц равна 0, они могут иметь некоторые кинетические энергии:

$$E_{1} = (M+m)c^2 + E_{k}, \quad E_{\text{кин}} \ge 0.$$
После захвата согласно ЗСИ суммарный импульс должен остаться нулевым. Если это происходит без излучения, то в итоге имеем одну частицу, и она не может иметь кинетической энергии. Зато атом водорода приобретает отрицательную электростатическую энергию связи:
$$E_{2} = (M+m)c^2 + E_b, \quad E_b<0.$$
Докажем, что эта энергия именно отрицательна.
Рассмортим круговое вращение электрона вокруг протона, запишем $II$ закон Ньютона:
$$\frac{m_e v^2}{r} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \quad\Longrightarrow\quad m_e v^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}.$$

Кинетическая энергия:
$$K = \frac{m_e v^2}{2} = \frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}.$$

Потенциальная энергия:
$$U = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}.$$

Полная энергия:
$$E_b = K + U = \frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} = -\frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} < 0.$$

Что и требовалось. Отмечу: тут я объяснил именно знак энергии, а не нашёл её точное значение. Чтобы не загромождать вывод, сделаны приближения:

• $m_p\gg m_e$, поэтому вместо вращения двух частиц вокруг ЦМ рассмотрено вращение электрона вокруг протона
• орбита считается круговой, а не эллиптической
• не обращалось внимание на гипотезу Бора о квантовании момента импульса

Если устранить эти приближения, можно показать, что приблизительно $E_b\in[-13.6 ; 0) \ эВ$

Но вернёмся к основной задаче, из ЗСЭ:
$$E_{k} = E_b < 0$$
Противоречие. Значит, безызлучательный захват невозможен. Часть этой энергии обязательно должен унести фотон.