Движение заряженных частиц в электрическом поле > Взаимодействие заряженных частиц > Задача 7.4.16

Условие

$7.4.16.$ Возможен ли безызлучательный захват свободным протоном электрона (образование атома водорода)?

Решение

В системе центра масс суммарный импульс частиц до захвата равен нулю, энергия взаимодействия частиц равна 0, они могут иметь некоторые кинетические энергии:

$$
E_{1} = (M+m)c^2 + E_{k}, \quad E_{\text{кин}} \ge 0.
$$
После захвата согласно ЗСИ суммарный импульс должен остаться нулевым. Если это происходит без излучения, то в итоге имеем одну частицу, и она не может иметь кинетической энергии. Зато атом водорода приобретает отрицательную электростатическую энергию связи:
$$
E_{2} = (M+m)c^2 + E_b, \quad E_b<0.
$$
Докажем, что эта энергия именно отрицательна.
Рассмортим круговое вращение электрона вокруг протона, запишем $II$ закон Ньютона:
$$
\frac{m_e v^2}{r} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}
\quad\Longrightarrow\quad
m_e v^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}.
$$

Кинетическая энергия:
$$
K = \frac{m_e v^2}{2} = \frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}.
$$

Потенциальная энергия:
$$
U = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}.
$$

Полная энергия:
$$
E_b = K + U = \frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}
= -\frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} < 0.
$$

Что и требовалось. Вернёмся к основной задаче, из ЗСЭ:
$$
E_{k} = E_b < 0
$$
Противоречие. Значит, безызлучательный захват невозможен. Часть этой энергии обязательно должен унести фотон.

Ответ

$$
\boxed{Невозможен}
$$