Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/7.4.31.md
+29 −3
| @@ -1,11 +1,37 @@ | |||
| + | |||
| ### Условие | |||
| + | $7.4.31.$ На оси цилиндрического отверстия в металлической плите на некотором расстоянии от последней находится точечный заряд $q$. Заряд отпускают. Опишите качественно его движение. | ||
| − | $7.4.31.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + |  | ||
| ### Решение | |||
| + | Пусть радиус отверстия $R$, координата заряда $z$, точка $O$ - начало координат. | ||
| − | 1 | ||
| + | Заряд индуцирует на металлической поверхности противоположные по знаку заряды, поэтому притягивается к плите (к плоскости отверстия). | ||
| + | - Заряд начинает двигаться ускоренно вдоль оси к отверстию. По мере приближения к отверстию сила притяжения растет примерно по закону ($z\gg R$) | ||
| + | $$ | ||
| + | F\propto\frac{1}{z^2} | ||
| + | $$ | ||
| + | - Металла непосредственно перед зарядом нет, поэтому основная часть наведенных зарядов сосредоточена на краях отверстия. Значит, когда заряд приближается к нему ($R\gg z$), проекция сил на ось уменьшается, сила притяжения начинает почти линейно убывать | ||
| + | $$ | ||
| + | F\propto\frac{z}{(z^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}\approx\frac{z}{R^3}\propto z | ||
| + | $$ | ||
| + | То есть в этом приближении колебания можно считать почти гармоническими | ||
| + | |||
| + | - В тот момент, когда заряд оказывается точно в центре отверстия (в плоскости металлической плиты), все силы притяжения со стороны симметрично расположенных краев отверстия взаимно уравновешиваются, но к этому моменту заряд уже набрал максимальную скорость (вся потенциальная энергия перешла в кинетическую). По инерции он проскакивает центр | ||
| + | - Когда заряд пересекает плоскость плиты и оказывается с другой стороны, картина индуцированных зарядов на металле перестраивается (сила теперь тянет его обратно к плите). Вектор силы меняет направление на противоположное — теперь она тормозит заряд. Заряд удаляется от плиты, его скорость падает, пока он не остановится. | ||
| + | |||
| + | И далее цикл повторяется. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Поскольку заряд движется с ускорением, он непрерывно излучает электромагнитные волны, теряя энергию. Индуцированные заряды в плите в постоянно перемещаются - возникает ток, а значит, джоулевы потери. Из-за этого колебания будут затухать. | ||
| + | |||
| + | Итак, у нас получились затухающие колебания - но не гармонические, если рассматривать амплитуду сравнимую с радиусом отверстия. Различия могут быть весьма существенными: | ||
| + | |||
| + |  | ||
| + | |||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | |||
| + | Затухающие негармонические колебания около точки $O$. | ||
| @@ -1,11 +1,37 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $7.4.31.$ На оси цилиндрического отверстия в металлической плите на некотором расстоянии от последней находится точечный заряд $q$. Заряд отпускают. Опишите качественно его движение. | |||
| $7.4.31.$ [Вставьте условие задачи] |  | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Пусть радиус отверстия $R$, координата заряда $z$, точка $O$ - начало координат. | |||
| 1 | |||
| Заряд индуцирует на металлической поверхности противоположные по знаку заряды, поэтому притягивается к плите (к плоскости отверстия). | |||
| - Заряд начинает двигаться ускоренно вдоль оси к отверстию. По мере приближения к отверстию сила притяжения растет примерно по закону ($z\gg R$) | |||
| $$ | |||
| F\propto\frac{1}{z^2} | |||
| $$ | |||
| - Металла непосредственно перед зарядом нет, поэтому основная часть наведенных зарядов сосредоточена на краях отверстия. Значит, когда заряд приближается к нему ($R\gg z$), проекция сил на ось уменьшается, сила притяжения начинает почти линейно убывать | |||
| $$ | |||
| F\propto\frac{z}{(z^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}\approx\frac{z}{R^3}\propto z | |||
| $$ | |||
| То есть в этом приближении колебания можно считать почти гармоническими | |||
| - В тот момент, когда заряд оказывается точно в центре отверстия (в плоскости металлической плиты), все силы притяжения со стороны симметрично расположенных краев отверстия взаимно уравновешиваются, но к этому моменту заряд уже набрал максимальную скорость (вся потенциальная энергия перешла в кинетическую). По инерции он проскакивает центр | |||
| - Когда заряд пересекает плоскость плиты и оказывается с другой стороны, картина индуцированных зарядов на металле перестраивается (сила теперь тянет его обратно к плите). Вектор силы меняет направление на противоположное — теперь она тормозит заряд. Заряд удаляется от плиты, его скорость падает, пока он не остановится. | |||
| И далее цикл повторяется. | |||
| Поскольку заряд движется с ускорением, он непрерывно излучает электромагнитные волны, теряя энергию. Индуцированные заряды в плите в постоянно перемещаются - возникает ток, а значит, джоулевы потери. Из-за этого колебания будут затухать. | |||
| Итак, у нас получились затухающие колебания - но не гармонические, если рассматривать амплитуду сравнимую с радиусом отверстия. Различия могут быть весьма существенными: | |||
|  | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| Затухающие негармонические колебания около точки $O$. | |||