Движение заряженных частиц в электрическом поле > Взаимодействие заряженных частиц > Задача 7.4.31

Условие

$7.4.31.$ На оси цилиндрического отверстия в металлической плите на некотором расстоянии от последней находится точечный заряд $q$. Заряд отпускают. Опишите качественно его движение.

Решение

Пусть радиус отверстия $R$, координата заряда $z$, точка $O$ - начало координат.

Заряд индуцирует на металлической поверхности противоположные по знаку заряды, поэтому притягивается к плите (к плоскости отверстия).

• Заряд начинает двигаться ускоренно вдоль оси к отверстию. По мере приближения к отверстию сила притяжения растет примерно по закону ($z\gg R$)
  $$
  F\propto\frac{1}{z^2}
  $$

• Металла непосредственно перед зарядом нет, поэтому основная часть наведенных зарядов сосредоточена на краях отверстия. Значит, когда заряд приближается к нему ($R\gg z$), проекция сил на ось уменьшается, сила притяжения начинает почти линейно убывать
  $$
  F\propto\frac{z}{(z^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}\approx\frac{z}{R^3}\propto z
  $$
  То есть в этом приближении колебания можно считать почти гармоническими

• В тот момент, когда заряд оказывается точно в центре отверстия (в плоскости металлической плиты), все силы притяжения со стороны симметрично расположенных краев отверстия взаимно уравновешиваются, но к этому моменту заряд уже набрал максимальную скорость (вся потенциальная энергия перешла в кинетическую). По инерции он проскакивает центр

• Когда заряд пересекает плоскость плиты и оказывается с другой стороны, картина индуцированных зарядов на металле перестраивается (сила теперь тянет его обратно к плите). Вектор силы меняет направление на противоположное — теперь она тормозит заряд. Заряд удаляется от плиты, его скорость падает, пока он не остановится.

И далее цикл повторяется.

Поскольку заряд движется с ускорением, он непрерывно излучает электромагнитные волны, теряя энергию. Индуцированные заряды в плите в постоянно перемещаются - возникает ток, а значит, джоулевы потери. Из-за этого колебания будут затухать.

Итак, у нас получились затухающие колебания - но не гармонические, если рассматривать амплитуду сравнимую с радиусом отверстия. Различия могут быть весьма существенными:

Ответ

Затухающие негармонические колебания около точки $O$.