Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

jzmicer правка от 27 июн. 2026 г., 19:31

правка #19310 предыдущая #19309 ← раньше

ru/6.6.22.md +29 −5

		@@ -1,11 +1,35 @@
			### Условие
		+	$6.6.22.$ Одна из пластин незаряженного конденсатора сделана из частой сетки и лежит на поверхности с плотностью $\rho$ и диэлектрической проницаемостью $ \varepsilon$. Площадь каждой пластины $S$. На какую высоту поднимется уровень жидкости в конденсаторе, если сообщить ему заряд $Q$?

		−	$6.6.22.$ [Вставьте условие задачи]
		+	![\|736x304, 70%](../../img/6.6.22/6.6.22.png)

			### Решение
		+	Ёмкость конденсатора (можно представить как 2 последовательно подключённых конденсатора):
		+	$$
		+	C=\left(\frac{d-h}{\varepsilon_0S}+\frac{h}{\varepsilon\varepsilon_0S}\right)^{-1}=\frac{\varepsilon_0S}{d-h+h/\varepsilon}
		+	$$
		+	Энергия поля при фиксированном заряде:
		+	$$
		+	W_c=\frac{Q^2}{2C}=\frac{Q^2}{2\varepsilon_0S}\left(d-h+\frac{h}{\varepsilon}\right)
		+	$$
		+	Потенциальная энергия жидкости:
		+	$$
		+	W_p=\frac{h}{2}mg=\frac{1}{2}Sh^2\rho g
		+	$$
		+	Равновесию соответствует минимум суммарной энергии, найдем это положение с помоцью производной:
		+	$$
		+	\frac{d}{dh}\left[W_p-W_c\right]=0\quad\to\quad S\rho gh-\frac{Q^2}{2\varepsilon_0S}\left(1-\frac{1}{\varepsilon}\right)=0
		+	$$
		+	И вторая производная:
		+	$$
		+	\frac{d}{dh}\left[S\rho gh-\frac{Q^2}{2\varepsilon_0S}\left(1-\frac{1}{\varepsilon}\right)\right]>0\quad\to\quad h>0 \ - очевидно
		+	$$
		+	Тогда единственная равновесная высота подъёма:
		+	$$
		+	h = \frac{( \varepsilon − 1)Q^2}{2\varepsilon_0 \varepsilon \rho gS^2}
		+	$$

		−	1
		−
			#### Ответ
		−
		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	$$
		+	\boxed{h = \frac{( \varepsilon − 1)Q^2}{2\varepsilon_0 \varepsilon \rho gS^2}}
		+	$$

	@@ -1,11 +1,35 @@
	### Условие		### Условие
			$6.6.22.$ Одна из пластин незаряженного конденсатора сделана из частой сетки и лежит на поверхности с плотностью $\rho$ и диэлектрической проницаемостью $ \varepsilon$. Площадь каждой пластины $S$. На какую высоту поднимется уровень жидкости в конденсаторе, если сообщить ему заряд $Q$?

	$6.6.22.$ [Вставьте условие задачи]		![\|736x304, 70%](../../img/6.6.22/6.6.22.png)

	### Решение		### Решение
			Ёмкость конденсатора (можно представить как 2 последовательно подключённых конденсатора):
			$$
			C=\left(\frac{d-h}{\varepsilon_0S}+\frac{h}{\varepsilon\varepsilon_0S}\right)^{-1}=\frac{\varepsilon_0S}{d-h+h/\varepsilon}
			$$
			Энергия поля при фиксированном заряде:
			$$
			W_c=\frac{Q^2}{2C}=\frac{Q^2}{2\varepsilon_0S}\left(d-h+\frac{h}{\varepsilon}\right)
			$$
			Потенциальная энергия жидкости:
			$$
			W_p=\frac{h}{2}mg=\frac{1}{2}Sh^2\rho g
			$$
			Равновесию соответствует минимум суммарной энергии, найдем это положение с помоцью производной:
			$$
			\frac{d}{dh}\left[W_p-W_c\right]=0\quad\to\quad S\rho gh-\frac{Q^2}{2\varepsilon_0S}\left(1-\frac{1}{\varepsilon}\right)=0
			$$
			И вторая производная:
			$$
			\frac{d}{dh}\left[S\rho gh-\frac{Q^2}{2\varepsilon_0S}\left(1-\frac{1}{\varepsilon}\right)\right]>0\quad\to\quad h>0 \ - очевидно
			$$
			Тогда единственная равновесная высота подъёма:
			$$
			h = \frac{( \varepsilon − 1)Q^2}{2\varepsilon_0 \varepsilon \rho gS^2}
			$$

	1

	#### Ответ		#### Ответ
			$$
	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		\boxed{h = \frac{( \varepsilon − 1)Q^2}{2\varepsilon_0 \varepsilon \rho gS^2}}
			$$