Электростатика > Электрическое поле при наличии диэлектрика > Задача 6.6.22

Условие

$6.6.22.$ Одна из пластин незаряженного конденсатора сделана из частой сетки и лежит на поверхности с плотностью $\rho$ и диэлектрической проницаемостью $ \varepsilon$. Площадь каждой пластины $S$. На какую высоту поднимется уровень жидкости в конденсаторе, если сообщить ему заряд $Q$?

Решение

Ёмкость конденсатора (можно представить как 2 последовательно подключённых конденсатора):
$$
C=\left(\frac{d-h}{\varepsilon_0S}+\frac{h}{\varepsilon\varepsilon_0S}\right)^{-1}=\frac{\varepsilon_0S}{d-h+h/\varepsilon}
$$
Энергия поля при фиксированном заряде:
$$
W_c=\frac{Q^2}{2C}=\frac{Q^2}{2\varepsilon_0S}\left(d-h+\frac{h}{\varepsilon}\right)
$$
Потенциальная энергия жидкости:
$$
W_p=\frac{h}{2}mg=\frac{1}{2}Sh^2\rho g
$$
Равновесию соответствует минимум суммарной энергии, найдем это положение с помоцью производной:
$$
\frac{d}{dh}\left[W_p-W_c\right]=0\quad\to\quad S\rho gh-\frac{Q^2}{2\varepsilon_0S}\left(1-\frac{1}{\varepsilon}\right)=0
$$
И вторая производная:
$$
\frac{d}{dh}\left[S\rho gh-\frac{Q^2}{2\varepsilon_0S}\left(1-\frac{1}{\varepsilon}\right)\right]>0\quad\to\quad h>0 \ - очевидно
$$
Тогда единственная равновесная высота подъёма:
$$
h = \frac{( \varepsilon − 1)Q^2}{2\varepsilon_0 \varepsilon \rho gS^2}
$$

Ответ

$$
\boxed{h = \frac{( \varepsilon − 1)Q^2}{2\varepsilon_0 \varepsilon \rho gS^2}}
$$