Решение

Радиус $R$ рулона обычно считается внешним, а рулон является сплошным [1].

Сделаем рассуждения по возможности точными: рулонный конденсатор (рулон) рассмотрим как множество цилиндрических конденсаторов (см. задачу $6.4.7$) с плавно меняющимся радиусом, учтем емкость зазора между основными слоями [2]. Зазор считаем постоянным, его величину обозначим $b$ (далее мы выразим ее через данные в задаче).

Емкость рулона $C$ складывается из емкости $C_1$ основных слоев и емкости $C_2$ зазоров (в эквивалентной схеме они соединены параллельно [2]).

• Емкость $C_1$ складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов (они соединены параллельно) с расстоянием $d$ между обкладками.

• Емкость $C_2$ аналогично складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов, но с расстоянием $b$ между обкладками.

Начнем с вычисления емкости $C_1$.

Представим произвольный цилиндрический конденсатор с толщиной $d$ на расстоянии $r$ от оси рулона. Умножение емкости этого конденсатора на малое приращение $dn$ количества таких конденсаторов даст элементарную емкость

$$dC_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}dn.\tag{1}$$

Величина $dn$ удобно выражается через приращение $dr$ расстояния от оси рулона:

$$dn=\frac{dr}{d+b}.$$

Для удобства дальнейшего интегрирования обозначим

$$x=\frac{r}{d}.$$

После этих замен интегрирование $(1)$ дает:

$$C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 ad}{d+b}\int\limits_1^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.$$

(Нижний предел интегрирования равен $1$, то есть условимся, что ось рулона имеет толщину $d$. Это нужно для обеспечения сходимости ряда, в который будем разлагать далее логарифм при вычислении интеграла.)

Таким образом, нужно найти интеграл

$$\boxed{I=\int\limits_1^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.}\tag{2}$$

(Определенный интеграл будет удобней, что станет ясно из самого способа вычисления интеграла. Если далее будет сложно, то смотрите альтернативный способ нахождения интеграла в Приложении.)

Введем временную переменную $u=1/x$ и начнем приводить подынтегральную функцию

$$f(x)=\frac{1}{\ln\left(1+u\right)}$$

к удобному для интегрирования виду через разложение в ряд логарифма:

$$f(x)=\frac{1}{u-\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{u^3}{3}-\ldots}.$$

(На всем интервале интегрирования ряд сходится, $0<u\leqslant1$.)

Нужно избавиться от ряда в знаменателе. Будем использовать формулу геометрической прогрессии

$$\frac{1}{1-q}=1+q+q^2+q^3+\ldots\tag{3}$$

Выделим в нашей функции выражение вида $\dfrac{1}{1-q}$:

$$f(x)=\frac{1}{u}\frac{1}{\left(1-\left(\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)\right)}$$

и используем разложение $(3)$:

$$f(x)=\frac{1}{u}\left(1+\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)$$

и далее

$$f(x)=\frac{1}{u}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{u}{3}+\dfrac{u^2}{4}-\ldots$$

Так как $x=1/u$, то

$$f(x)=x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3x}+\dfrac{1}{4x^2}-\ldots$$

Вот эту функцию уже можем интегрировать по $x$, используя формулу $(2)$. Сначала ее первообразная:

$$F(x)=\frac{x^2}{2}+\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{3}\ln x-\dfrac{1}{4x}+\ldots$$

По формуле Ньютона—Лейбница с обозначением $X=R/d$

$$I=F(X)-F(1),$$

где

$$F(X)=\frac{X^2}{2}+\dfrac{X}{2}-\dfrac{1}{3}\ln X-\dfrac{1}{4X}+\ldots$$

и

$$F(1)=\frac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\ln(1)-\dfrac{1}{4}+\ldots$$

Вынесем в предыдущих двух формулах множитель $\dfrac{X^2}{2}$:

$$F(X)=\frac{X^2}{2}\left(1+\dfrac{1}{X}-\dfrac{1}{3}\frac{2}{X^2}\ln X-\dfrac{2}{4X^3}+\ldots\right)$$

и

$$F(1)=\frac{X^2}{2}\left(\frac{1}{X^2}+\dfrac{1}{X^2}-\dfrac{1}{3}\frac{2}{X^2}\ln(1)-\dfrac{2}{4X^2}+\ldots\right)$$

Вычитая предыдущие две формулы и с условием $X=R/d\gg1$ пренебрегая слагаемыми много меньшими единицы получаем

$$I\approx\frac{X^2}{2}=\frac{R^2}{2d^2}.$$

Отсюда пока получаем

$$C_1\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{d+b}\frac{R^2}{d}.$$

Рассуждения для нахождения $C_2$ аналогичны. Из симметрии предыдущей формулы относительно $d$ и $b$ можем сразу написать

$$C_2\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{b+d}\frac{R^2}{b}.$$

Итак, емкость рулона

$$C=C_1+C_2,$$

значит:

$$C\approx\frac{\pi\varepsilon_0 aR^2}{b+d}\left(\frac{1}{d}+\frac{1}{b}\right).\tag{4}$$

Из геометрии рулона

$$b=\frac{\pi R^2-ld}{l}$$

и

$$\pi R^2=l(d+b).$$

Предыдыущие две формулы подставляем в $(4)$, упрощаем и получаем такой ответ

$$C\approx\frac{\varepsilon_0 al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right).$$

Проанализировать этот ответ и рассмотреть его следствия может сам читатель.

Комментарии: при $b=d$ получается, что емкость рулона равна удвоенному значению емкости размотанного конденсатора; такой же результат приводится в книге [3] при рассмотрении спирального конденсатора.

Примечание: похожая задача, но с заданным внутренним радиусом решена в [4], куда может обратиться читатель и оценить корректность рассуждений авторов.

У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.

Приложение

На большом диапазоне $x\gg1$ график подынтегральной функции в $(2)$

не отличается от линейной $f(x)=x$.

Так что значение интеграла $(2)$

$$I\approx\int\limits_1^{R/d}x\,dx\approx\frac{R^2}{2d^2}.$$

Дальнейшее совпадает с основным решением.