Решение

Пренебрегаем краевыми эффектами. Рулон представляем множеством цилиндрических конденсаторов, пластины которых расположены так близко, что рассуждать будем в приближении плоского конденсатора (это следует из результата решения предыдущей задачи $6.4.7$).

Разделим систему на слои, предварительно зарядив конденсатор-рулон напряжением $U$.

Как видно, имеем чередование частичных слоев основного слоя шириной $d$ (заштриховано на рисунке) и частичных слоев промежуточного слоя шириной $b$, не дающего соприкасаться основному слою (не заштриховано на рисунке).

Частичные слои основного слоя представляют собой элементарные емкости $dC_0$ основного слоя емкостью $C_0$.

Частичные слои промежуточного слоя тоже представляют собой элементарные емкости $dC_\text{п}$ промежуточного слоя соответствующей емкости $C_\text{п}$. Емкость промежуточного слоя объясняется удобно тем, что в промежутке должно существовать поле(!) [1], потому что пластины, ограничивающие промежуток всегда имею разные потенциалы (вспомнить про $U=Ed$) [2, 3].

Далее удобно действовать через энергетическое определение емкости $W=CU^2/2$ и объемную плотность энергии поля [4], но покажем подход, основанный на составлении эквивалентной схемы конденсатора-рулона.

Мысленно разделим, вторую, третью, четвертую и т. д. частичные пластины (отсчитывая от наружней) на две равные части. Это возможно вследствие отсутствия поля внутри пластин.

Нутрудно составить схему из этих конденсаторов, показав все соединения.

Все конденсаторы соединены параллельно, тогда емкость конденсатора-рулона

$$C=\sum_i dC_{0i}+\sum_i dC_{\text{п}i}.$$

Сумма $\sum_i dC_{0i}$ равна из геометрии емкости $C_0$ основного слоя, сумма $\sum_i dC_{\text{п}i}$ равна по тем же соображениям емкости промежуточного слоя $C_\text{п}$.

Тогда можно расписать слагаемые предыдущей формулы

$$C=\frac{\varepsilon_0al}{d}+\frac{\varepsilon_0al}{b}.\tag{1}$$

Заметим, что сумма объемов скрученных тонких параллелепипедов толщин $d$ и $b$ равна объему цилиндра с основанием радиуса $R$:

$$ald+alb=a\pi R^2,$$

откуда

$$b=\frac{\pi R^2-ld}{l}.$$

Подставим это в формулу $(1)$:

$$C=\frac{\varepsilon_0al}{d}+\frac{\varepsilon_0al^2}{\pi R^2-ld}$$

и вынесем за скобки дробь $\dfrac{\varepsilon_0al}{d}$:

$$C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right).$$

При $ld\to\pi R^2$ получаем $C\to\infty$, это объясняется тем, что емкость промежуточного слоя стремится к бесконечности. При $ld\ll\pi R^2$ получаем $C\approx C_0$, что объясняется тем, что емкость промежуточного слоя много меньше емкости основного слоя (но это не предусматривается задачей и моделью, принятой в решении).

Примечание: следует рассмотреть случай суммирования цилиндрических частичных конденсаторов.

Приложение

Рассмотрим случай суммирования цилиндрических частичных конденсаторов. Они соединены параллельно.

Сначала находим емкость основного цилиндрического слоя, затем далаем это для промежуточного. Для интегрирования логарифм натуральный раскладываем в ряд. Для поднятия ряда из знаменателя используем геометрический ряд $\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\ldots$