| @@ -1,7 +1,9 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $11.5.24.$ Сверхпроводящая коробка разделена на две равные части также сверхпроводящей перемычкой толщины $d$. Размеры коробки показаны на рисунке ($h ≪a,l$). По коробке в направлении, перпендикулярном перемычке, циркулирует ток, линейная плотность которого $i$. С какой частотой будет колебаться перемычка, если ей сообщить небольшую скорость в направлении, показанном на рисунке? Масса перемычки $m$. |
| $11.5.24.$ Сверхпроводящая коробка разделена на две равные части также сверхпроводящей перемычкой толщины $d$. Размеры коробки показаны на рисунке ($h ≪a,l$). По коробке в направлении, перпендикулярном перемычке, циркулирует ток, линейная плотность которого $i$. С какой частотой будет колебаться перемычка, если ей сообщить небольшую скорость в направлении, показанном на рисунке? Масса перемычки $m$. |
| |
| |
| |
|  |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| Индукция в каждой из половин по модулю равна: |
| Индукция в каждой из половин по модулю равна: |
| | | |
| $$B_0 = \mu_0 i$$ | | $$B_0 = \mu_0 i$$ |
| | | |
| Длина каждой камеры: | | Длина каждой камеры: |
| | | |
| $$l_0 = \frac{l-d}{2}$$ | | $$l_0 = \frac{l-d}{2}$$ |
| | | |
| Пусть мы сместили пластину на малое расстояние $x$. Из закона сохранения потока: | | Пусть мы сместили пластину на малое расстояние $x$. Из закона сохранения потока: |
| | | |
| $$B_1 = \frac{B_0}{1+\frac{x}{l_0}} \approx B_0(1 - \frac{x}{l_0})$$ | | $$B_1 = \frac{B_0}{1+\frac{x}{l_0}} \approx B_0(1 - \frac{x}{l_0})$$ |
| | | |
| $$B_2 = \frac{B_0}{1- \frac{x}{l_0}} \approx B_0(1 + \frac{x}{l_0})$$ | | $$B_2 = \frac{B_0}{1- \frac{x}{l_0}} \approx B_0(1 + \frac{x}{l_0})$$ |
| | | |
| Теперь запишем плотность энергии с каждой стороны, это же будет магнитное давление на перемычку: | | Теперь запишем плотность энергии с каждой стороны, это же будет магнитное давление на перемычку: |
| | | |
| $$P_1 = \frac{B_1^2}{2 \mu_0} = \frac{B_0^2(1 - \frac{x}{l_0})^2}{2 \mu_0} $$ | | $$P_1 = \frac{B_1^2}{2 \mu_0} = \frac{B_0^2(1 - \frac{x}{l_0})^2}{2 \mu_0} $$ |
| | | |
| $$P_2 = \frac{B_2^2}{2 \mu_0} = \frac{B_0^2(1 + \frac{x}{l_0})^2}{2 \mu_0} $$ | | $$P_2 = \frac{B_2^2}{2 \mu_0} = \frac{B_0^2(1 + \frac{x}{l_0})^2}{2 \mu_0} $$ |
| | | |
| Отсюда сила действующая на перегородку: | | Отсюда сила действующая на перегородку: |
| | | |
| $$F = ma = (P_2 - P_1)ah$$ | | $$F = ma = (P_2 - P_1)ah$$ |
| | | |
| $$F = ma = \frac{4\mu_0 i^2ahx}{l-d}$$ | | $$F = ma = \frac{4\mu_0 i^2ahx}{l-d}$$ |
| | | |
| Решая УГК: | | Решая УГК: |
| | | |
| $$v = \frac{i}{\pi} \sqrt{\frac{\mu_0 ah}{m(l-d)}}$$ | | $$v = \frac{i}{\pi} \sqrt{\frac{\mu_0 ah}{m(l-d)}}$$ |
| | | |
| У Савченко приведена циклическая частота, то есть без деления на $2\pi$ | | У Савченко приведена циклическая частота, то есть без деления на $2\pi$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$v = \frac{i}{\pi} \sqrt{\frac{\mu_0 ah}{m(l-d)}}$$ | | $$v = \frac{i}{\pi} \sqrt{\frac{\mu_0 ah}{m(l-d)}}$$ |
