Электромагнитная индукция > Сохранение магнитного потока. Сверхпроводники в магнитном поле > Задача 11.5.24

Условие

$11.5.24.$ Сверхпроводящая коробка разделена на две равные части также сверхпроводящей перемычкой толщины $d$. Размеры коробки показаны на рисунке ($h ≪a,l$). По коробке в направлении, перпендикулярном перемычке, циркулирует ток, линейная плотность которого $i$. С какой частотой будет колебаться перемычка, если ей сообщить небольшую скорость в направлении, показанном на рисунке? Масса перемычки $m$.

Решение

Индукция в каждой из половин по модулю равна:

$$B_0 = \mu_0 i$$

Длина каждой камеры:

$$l_0 = \frac{l-d}{2}$$

Пусть мы сместили пластину на малое расстояние $x$. Из закона сохранения потока:

$$B_1 = \frac{B_0}{1+\frac{x}{l_0}} \approx B_0(1 - \frac{x}{l_0})$$

$$B_2 = \frac{B_0}{1- \frac{x}{l_0}} \approx B_0(1 + \frac{x}{l_0})$$

Теперь запишем плотность энергии с каждой стороны, это же будет магнитное давление на перемычку:

$$P_1 = \frac{B_1^2}{2 \mu_0} = \frac{B_0^2(1 - \frac{x}{l_0})^2}{2 \mu_0} $$

$$P_2 = \frac{B_2^2}{2 \mu_0} = \frac{B_0^2(1 + \frac{x}{l_0})^2}{2 \mu_0} $$

Отсюда сила действующая на перегородку:

$$F = ma = (P_2 - P_1)ah$$

$$F = ma = \frac{4\mu_0 i^2ahx}{l-d}$$

Решая УГК:

$$v = \frac{i}{\pi} \sqrt{\frac{\mu_0 ah}{m(l-d)}}$$

У Савченко приведена циклическая частота, то есть без деления на $2\pi$

Ответ

$$v = \frac{i}{\pi} \sqrt{\frac{\mu_0 ah}{m(l-d)}}$$