Правка раздела «Условие»

igor правка от 3 июл. 2026 г., 10:02

правка #19596 предыдущая #19595 ← раньше

ru/3.4.15.md +1 −1

			### Условие

			$3.4.15.$ а. Двум шарикам массы $m$, которые связаны друг с другом и стенками тремя пружинами жесткости $k$, одновременно сообщили одинаковую по модулю скорость, направленную вдоль пружин. Найдите частоту колебаний шариков, если их скорости противоположно направлены. Одинаково направлены.

			б. Свободные колебания сложных систем являются суммой (наложением) нескольких гармонических колебаний с разными частотами. Если первому шарику в задаче $3.4.15\text{а}$ сообщить вдоль пружины скорость $v$, то последующее движение шариков будет суммой двух движений: движения шариков, которым сообщили скорость $v/2$ и $-v/2$, и движения шариков, которым сообщили скорость $v/2$ и $v/2$. Определите, пользуясь этим, скорость шариков в последующие за началом колебаний моменты времени. Чему равно максимальное смещение первого шарика? второго? максимальное удлинение средней пружины?
		@@ -6,7 +6,7 @@Условие

			в. Решите задачу $3.4.15\text{б}$ в случае, если первому шарику сообщили скорость $3v$, а второму скорость $v$.

		−	pic
		+	![К задаче $3.4.15$\|1151x248, 50%](../../img/3.4.15/3.4.15.png)


			### Решение


			#### Пункт а

			Из симметрии при встречном движении центр средней пружины на месте и второй закон Ньютона для каждого

			$$
			-kx-2kx=m\ddot x
			$$

			(каждое тело колеблется как на одной целой пружине с одной стороны и половине целой с другой стороны).

			Отсюда первая нормальная частота (быстрая)

			$$
			\omega_1=\sqrt{\frac{3k}{m}}.
			$$

			Из симметрии при согласном движении средняя пружина не деформируется и второй закон Ньютона для каждого

			$$
			-kx=m\ddot x
			$$

			(каждое тело колеблется как на одной целой пружине).

			Отсюда вторая нормальная частота (медленная)

			$$
			\omega_2=\sqrt{\frac{k}{m}}.
			$$


			#### Пункт б

			Из свойств гармонических колебаний скорость первого при встречном и согласном движениях $v_1^{(1)},v_2^{(1)}$ соответственно

			\begin{gather*}
			v_1^{(1)}=\frac{v}{2}\cos\omega_1t,\\\\
			v_2^{(1)}=\frac{v}{2}\cos\omega_2t.
			\end{gather*}

			По условию $x=x_1+x_2$, значит, $v=v_1+v_2$ (по взятию производной).

			Поэтому скорость первого истинная

			$$
			v^{(1)}=\frac{v}{2}\left(\cos\omega_1t+\cos\omega_2t\right).
			$$

			Для второго тела аналогичными рассуждениями получаем

			$$
			v^{(2)}=\frac{v}{2}\left(\cos\omega_2t-\cos\omega_1t\right).
			$$

			Уравнения координат каждого тела находим интегрированием их скоростей

			\begin{gather*}
			x^{(1)}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_1}\sin\omega_1t+\frac{1}{\omega_2}\sin\omega_2t\right),\\\\
			x^{(2)}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_2}\sin\omega_2t-\frac{1}{\omega_1}\sin\omega_1t\right)
			\end{gather*}

			(учтено, для постоянных интегрирования, что при $t=0$ имеем $x^{(1)}=0$ и $x^{(2)}=0$).

			Сумма гармонических функций с иррациональным отношением частот по фигурам Лиссажу показывает, что возможны все одновременные комбинации значений этих функций из их областей значений. Значит, возможно одновременно получить максимумы функций в скобках функций $x^{(1)}$ и $x^{(2)}$:

			\begin{gather*}
			x_\text{max}^{(1)}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_1}+\frac{1}{\omega_2}\right),\\\\
			x_\text{max}^{(2)}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_2}+\frac{1}{\omega_1}\right).
			\end{gather*}

			Для пружины средней

			$$
			\Delta=x^{(2)}-x^{(1)}=\frac{v}{2}\left(-\frac{2}{\omega_1}\sin\omega_1t\right),
			$$

			то есть ее максимальное удлинение

			$$
			\Delta_\text{max}=\frac{v}{\omega_1}.
			$$


			#### Пункт в

			По идее пункта б считаем последующее движение суммой двух таких: движения шариков, которым сообщили скорость $2v$ и $2v$, и движения шариков, которым сообщили скорость $v$ и $-v$.

			Для первого скорость истинная

			$$
			v^{(1)}=v\left(2\cos\omega_2t+\cos\omega_1t\right).
			$$

			Для второго скорость истинная

			$$
			v^{(2)}=v\left(2\cos\omega_2t-\cos\omega_1t\right).
			$$

			Их координаты так же как и в пункте б находим:

			$$
			x^{(1)}=v\left(\frac{1}{\omega_2}2\sin\omega_2t+\frac{1}{\omega_1}\sin\omega_1t\right)
			$$

			и

			$$
			x^{(2)}=v\left(\frac{1}{\omega_2}2\sin\omega_2t-\frac{1}{\omega_1}\sin\omega_1t\right)
			$$

			Их максимумы при одновременных максимумах подскобочных функций (синусов) достижимы по фигурам Лиссажу. То есть

			$$
			x_\text{max}^{(1)}=x_\text{max}^{(2)}=v\left(\frac{2}{\omega_2}+\frac{1}{\omega_1}\right).
			$$

			Для пружины средней

			$$
			\Delta=x^{(2)}-x^{(1)}=v\left(-\frac{2}{\omega_1}\sin\omega_1t\right),
			$$

			то есть ее максимальное удлинение

			$$
			\Delta_\text{max}=\frac{2v}{\omega_1}.
			$$

			Обоснования метода для сложных колебательных систем на физ. уровне в книгах [1,2]. Дополнительная книга [2] содержит элементарные справочные сведения по этому вопросу.


			С савченко один ответ не совпадает.


			#### Литература

			[1] Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика. Механика (в 10 т.).

			[2] Зоммерфельд А. Механика. (Лекции по теоретической физике.)


			#### Ответ

			а.

			$$
			\omega_1=\sqrt{\frac{3k}{m}},\quad \omega_2=\sqrt{\frac{k}{m}}.
			$$

			б.

			\begin{gather*}
			v^{(1)}=\frac{v}{2}\left(\cos\omega_1t+\cos\omega_2t\right),\\\\
			v^{(2)}=\frac{v}{2}\left(\cos\omega_2t-\cos\omega_1t\right),\\\\
			x_\text{max}^{(1)}=x_\text{max}^{(2)}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_1}+\frac{1}{\omega_2}\right),\\\\
			\Delta_\text{max}=\frac{v}{\omega_1}.
			\end{gather*}

			в.

			\begin{gather*}
			v^{(1)}=v\left(2\cos\omega_2t+\cos\omega_1t\right),\\\\
			v^{(2)}=v\left(2\cos\omega_2t-\cos\omega_1t\right),\\\\
			x_\text{max}^{(1)}=x_\text{max}^{(2)}=v\left(\frac{2}{\omega_2}+\frac{1}{\omega_1}\right),\\\\
			\Delta_\text{max}=\frac{2v}{\omega_1}.
			\end{gather*}
		ещё строк без изменений 169