5.9.22 | правка #19662 | Решения Савченко

Условие

5.9.22. Абсолютная теплоизоляция невозможна. На первый взгляд, тепловая мощность 0,1 Вт, поступающая в холодильную камеру из-за несовершенства теплоизоляции, кажется незначительной. Рассчитайте минимальную мощность, которую в этом случае нужно затратить, чтобы поддерживать в камере температуру $10^{-4}$ K при температуре окружающей среды 20 $^{\circ}$ C. Проведите аналогичный расчет для бытового холодильника, в камере которого нужно поддерживать температуру −13 $^{\circ}$ C. (В установках для получения рекордно низких температур мощность такого «паразитного» притока тепла удается снизить до 0,01 Вт и ниже.)

Решение

Холодильная камера работает по принципу обратной тепловой машины. Паразитное тепло поступает от холодильника к рабочему телу. Для поддержания температуры тела мы совершаем над ним работу и передаем теплоту нагревателю (см. рисунок).

Баланс энергии
$нпар$$P_{\text{н}} = N + P_{\text{пар}}$$$
КПД идеальной тепловой машины
$н$$\eta = \frac{N}{P_{\text{н}}} = 1 - \frac{T_{\min}}{T_{\max}}$$$

Подставляя выражение для $н$P_{\text{н}}$$ из баланса энергии:
$пар$$\frac{N}{N + P_{\text{пар}}} = 1 - \frac{T_{\min}}{T_{\max}}$$$

$пар$$N = \left(1 - \frac{T_{\min}}{T_{\max}}\right)\left(N + P_{\text{пар}}\right)$$$

$пар$$N\,\frac{T_{\min}}{T_{\max}} = P_{\text{пар}}\left(1 - \frac{T_{\min}}{T_{\max}}\right)$$$

$пар$$\boxed{N = P_{\text{пар}} \cdot \frac{T_{\max} - T_{\min}}{T_{\min}}}$$$

Численный расчёт

а) Установка для рекордно низких температур:
$ВтМВт$$N_1 = 0{,}1\ \text{Вт} \cdot \frac{293\ \text{K} - 10^{-4}\ \text{K}}{10^{-4}\ \text{K}} \approx 0{,}29\ \text{МВт}$$$

б) Бытовой холодильник:
$ВтмВт$$N_2 = 0{,}1\ \text{Вт} \cdot \frac{293\ \text{K} - 260\ \text{K}}{260\ \text{K}} \approx 13\ \text{мВт}$$$

Ответ

a) $МВт$N_1 \approx 0{,}29\ \text{МВт}$$
б) $мВт$N_2 \approx 13\ \text{мВт}$$