Решение

Разобьём ускорение бруска $\vec{a}_2$ на нормальную $\vec{a}_n$ и тангенциальную $\vec{a}_\tau$ компоненты

Из рисунка:

$$a_n=a_2 \cdot \sin\beta$$

$$a_\tau =a_2 \cdot \cos\beta$$

$$a_n=a_\tau\cdot \tan\beta\tag{0}$$

Рассмотрим малое изменение координаты клина и бруска на нем за маленький промежуток $dt$: Клин сдвинулся на $dx_1$ Между тем, брусок в системе отсчета связанной с клином, по оси $OX$ брусок сдвинулся на $dx$, а по $OY$ — $dy$

Относительно начальной точки, в СО Наблюдателя, брусок сдвинулся на

$$OX: \;dx=dx_0+dx_1$$

$$OY: \;dy=dy_0$$

Т.к. брусок не отрывается,

$$dy=dx \cdot \tan\alpha\tag{a}$$

Продеффиринцируем дважды обе части выражения $(a)$:

$$\frac{dy}{d^2t} = \frac{dx}{d^2t} \cdot \tan\alpha$$

$$a_n = (a_\tau +a_1) \cdot \tan\alpha\tag{1}!$$

Запишем второй закон Ньютона для бруска на оси:

$$OX: \;ma_\tau =N\,\sin\alpha\tag{2}$$

$$OY: \;ma_n=mg-N\cos\alpha\tag{3}$$

По третьему закону Ньютона Сила давления $\vec{N}{}'$ оказаная бруском на клин равна по модулю и проивоположна по направлению силе нормальной реакции опоры $\vec{N}$:

$$\vec{N}{}'=-\vec{N}$$

Второй закон Ньютона для клина на оси $OX$:

$$Ma_1=N\,\sin\alpha\tag{4}$$

Составим и решим систему уравнений $(0)$, $(1)$, $(2)$, $(3)$ и $(4)$ относительно $M$:

$$\left\\{\begin{matrix} a_n=a_\tau\cdot \tan\beta& \\\ a_n = (a_\tau +a_1) \cdot \tan\beta& \\\ ma_\tau =N\,\sin\alpha& \\\ ma_n=mg-N\cos\alpha& \\\ Ma_1=N\,\sin\alpha& \end{matrix}\right.$$

$$\left\\{\begin{matrix} a_\tau\cdot \tan\beta = (a_\tau +a_1) \cdot \tan\alpha& \\\ ma_\tau =N\,\sin\alpha& \\\ ma_n=mg-N\cos\alpha& \\\ Ma_1=N\,\sin\alpha& \end{matrix}\right.$$

$$M=ma_\tau\cdot \frac{1}{a_1}$$

$$a_\tau (\tan\beta -\tan\alpha ) = a_1\,\tan\alpha$$

$$\frac{a_\tau}{a_1} = \frac{\tan\alpha}{\tan\beta -\tan\alpha}$$

$$M=m \frac{a_\tau}{a_1}$$

$$\boxed{M=m \frac{\tan\alpha}{\tan\beta -\tan\alpha}}$$