Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие: </h3>

    <p>     
     $2.1.50.$ На гладкой горизонтальной плоскости находится клин с углом $α$ при основании. Тело массы $m$, положенное на клин, опускается с ускорением, направленным под углом $β > α$ к горизонтали. Определите массу клина.
   </p>
    <center>
      <figure>
        <img src="statement.png"
          loading="lazy" width="230" />
        <figcaption>
           К задаче 2.1.50
        </figcaption>
      </figure>
    </center>

  <h3> Решение: </h3>
    <center>
      <figure>
        <img src="sol.jpg"
          loading="lazy" width="400" />
        <figcaption>
           Силы действующие на систему 
        </figcaption>
      </figure>
    </center>
    <p>
        Разобьём ускорение бруска $\vec{a}_2$ на нормальную $\vec{a}_n$ и тангенциальную $\vec{a}_\tau$ компоненты 
    </p>
    <br>
    <center>
      <figure>
        <img src="sol3.jpg"
          loading="lazy" width="280" />
        <figcaption>
           Нормальное и тангенциальное ускорения
        </figcaption>
      </figure>
    </center>
    <p>
     Из рисунка:                  
     $$a_n=a_2 \cdot sin\\,\beta$$
     $$a_\tau=a_2 \cdot cos\\,\beta$$
     $$a_n=a_\tau \cdot tg\\,\beta\\;(0)$$
     Рассмотрим малое изменение координаты клина и бруска на нем за маленький промежуток $dt$:
     Клин сдвинулся на $dx_1$
     Между тем, брусок в системе отсчета связанной с клином, по оси $OX$ брусок сдвинулся на $dx$, а по $OY$ — $dy$
    </p>
    <br>
    <center>
      <figure>
        <img src="sol2.jpg"
          loading="lazy" width="280" />
        <figcaption>
           Малое перещение за время $dt$
        </figcaption>
      </figure>
    </center>
    <p>
     Относительно начальной точки, в СО Наблюдателя, брусок сдвинулся на 
     $$OX: \\;dx=dx_0+dx_1$$ 
     $$OY: \\;dy=dy_0$$
     Т.к. брусок не отрывается, 
     $$dy=dx \cdot tg\\,\alpha\\;(a)$$
     Продеффиринцируем дважды обе части выражения $(a)$:
     $$\frac{dy}{d^2t} = \frac{dx}{d^2t} \cdot tg\\,\alpha$$
     $$a_n = (a_\tau+a_1) \cdot tg\\,\alpha\\;(1)!$$
     Запишем второй закон Ньютона для бруска на оси:
     $$OX: \\;ma_\tau=N\\,sin\\,\alpha\\;(2)$$
     $$OY: \\;ma_n=mg-N\\,cos\\,\alpha\\;(3)$$
     По третьему закону Ньютона Сила давления $\vec{N}{}'$ оказаная бруском на клин равна по модулю и проивоположна по направлению силе нормальной реакции опоры $\vec{N}$:
     $$\vec{N}{}'=-\vec{N}$$
     Второй закон Ньютона для клина на оси $OX$:
     $$Ma_1=N\\,sin\\,\alpha\\;(4)$$
     Составим и решим систему уравнений $(0)$, $(1)$, $(2)$, $(3)$ и $(4)$ относительно $M$:                     
     $$\left\{\begin{matrix}
     a_n=a_\tau \cdot tg\\,\beta & \\ 
     a_n = (a_\tau+a_1) \cdot tg\\,\beta & \\ 
     ma_\tau=N\\,sin\\,\alpha & \\ 
     ma_n=mg-N\\,cos\\,\alpha & \\ 
     Ma_1=N\\,sin\\,\alpha & 
     \end{matrix}\right.$$   
     $$\left\{\begin{matrix}
     a_\tau \cdot tg\\,\beta = (a_\tau+a_1) \cdot tg\\,\alpha & \\ 
     ma_\tau=N\\,sin\\,\alpha & \\ 
     ma_n=mg-N\\,cos\\,\alpha & \\ 
     Ma_1=N\\,sin\\,\alpha & 
     \end{matrix}\right.$$
     $$M=ma_\tau \cdot \frac{1}{a_1}$$
     $$a_\tau(tg\\,\beta-tg\\,\alpha) = a_1\\,tg\\,\alpha$$
     $$\frac{a_\tau}{a_1} = \frac{tg\\,\alpha}{tg\\,\beta-tg\\,\alpha}$$
     $$M=m \frac{a_\tau}{a_1}$$
     $$\boxed{M=m \frac{tg\\,\alpha}{tg\\,\beta-tg\\,\alpha}}$$
    </p>

     <h3> Ответ: </h3>
     <p>
        $$M= m \frac{tg\\,\alpha}{tg\\,\beta-tg\\,\alpha}$$
     </p>

<footer class="row container">
    <br>

    <p>
        <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>