Новое решение

Kvarkovich правка от
Посмотреть решение История
правка #19788 позже →
ru/13.3.11.md +193 −0
@@ -0,0 +1,193 @@
+### Условие
+
+$13.3.11.$ [Вставьте условие задачи]
+
+### Решение
+
+\documentclass[12pt,a4paper]{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T2A]{fontenc}
+\usepackage[russian]{babel}
+\usepackage{amsmath,amssymb}
+\usepackage{geometry}
+\geometry{left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm}
+
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,decorations.pathreplacing}
+
+\begin{document}
+
+\section*{Решение задачи о глубине резкости фотоаппарата}
+
+\textbf{Условие задачи:} \\
+Изображение предметов, удалённых от фотоаппарата на расстояние от $a_1 = 2\text{ м}$ до $a_2 = 4\text{ м}$, получилось достаточно резким при диафрагме $d = 4$. Определите границы резко изображаемого пространства (глубину резкости) при значениях диафрагмы $d = 2$ и $d = 8$.
+
+---
+
+\subsection*{1. Физические основы и математическая модель}
+
+В идеальной оптической системе точке в пространстве предметов соответствует точечное изображение. Однако на практике фотоплёнка или цифровая матрица обладают конечным разрешением. Границы резкости определяются минимально допустимым размером пятна рассеяния $\delta$ (диаметром пятна резкости) на фотоплёнке.
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[scale=0.95, >=stealth]
+ % Оптическая ось
+ \draw[dashdot, gray] (-6,0) -- (8,0) node[right, black] {оптическая ось};
+
+ % Тонкая линза (объектив)
+ \draw[thick, <->] (0,-3) -- (0,3) node[above] {Объектив};
+ \node[below left] at (0,0) {$O$};
+
+ % Диафрагма (радиус R)
+ \draw[ultra thick, line cap=round] (0,1.8) -- (0,3);
+ \draw[ultra thick, line cap=round] (0,-1.8) -- (0,-3);
+ \draw[<->, red!80!black] (-0.3,0) -- (-0.3,1.8) node[midway, left] {$R$};
+
+ % Точка фокусировки S и её изображение S'
+ \fill (-4,0) circle (2pt) node[below] {$S$};
+ \fill (3,0) circle (2pt) node[below left] {$S'$};
+
+ % Лучи от точки S
+ \draw[blue!70!black] (-4,0) -- (0,1.8) -- (3,0);
+ \draw[blue!70!black] (-4,0) -- (0,-1.8) -- (3,0);
+
+ % Плоскость фотопленки
+ \draw[thick, darkgray] (3,-2.5) -- (3,2.5) node[above, black] {Плёнка};
+
+ % Точка S1 (ближе) и ее изображение S1'
+ \fill[red!80!black] (-5.5,0) circle (2pt) node[below] {$S_1$};
+ \fill[red!80!black] (4.2,0) circle (2pt) node[below] {$S_1'$};
+
+ % Лучи от S1 через край диафрагмы
+ \draw[red!80!black, dashed] (-5.5,0) -- (0,1.8) -- (4.2,0);
+ \draw[red!80!black, dashed] (-5.5,0) -- (0,-1.8) -- (4.2,0);
+
+ % Пятно резкости delta на пленке от точки S1
+ \draw[line width=1.5pt, red!80!black] (3,0.514) -- (3,-0.514);
+ \draw[decorate, decoration={brace, mirror, raise=2pt}] (3,-0.514) -- (3,0.514)
+ node[pos=0.5, right=4pt, red!80!black] {$\delta$};
+
+ % Размеры расстояний
+ \draw[<->] (-4,-1.2) -- (0,-1.2) node[midway, fill=white] {$a$};
+ \draw[<->] (0,-1.2) -- (3,-1.2) node[midway, fill=white] {$b$};
+ \draw[<->] (3,-1.2) -- (4.2,-1.2) node[midway, fill=white] {$\Delta b$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+Примем следующие обозначения:
+\begin{itemize}
+ \item $a$ — расстояние от объектива до предмета $S$, на который сфокусирован объектив;
+ \item $b$ — расстояние от объектива до плоскости плёнки (изображения $S'$);
+ \item $D$ — оптическая сила объектива;
+ \item $R$ — радиус светового отверстия (прозрачной части) объектива;
+ \item $d$ — значение диафрагменного числа (диафрагма), равное отношению фокусного расстояния к диаметру отверстия:
+ \[
+ d \approx \frac{b}{2R} \implies \frac{R}{b} = \frac{1}{2d}
+ \]
+\end{itemize}
+
+Для предмета $S$, находящегося в фокусе, справедлива формула тонкой линзы:
+\begin{equation}
+\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = D
+\label{eq:lens}
+\end{equation}
+
+Для предельных точек $S_1$ (расстояние $a_1$) и $S_2$ (расстояние $a_2$), изображения которых $S_1'$ и $S_2'$ смещены вдоль оптической оси на расстояние $\Delta b$, пересечение конуса лучей с плоскостью фотоплёнки образует пятно диаметром $\delta$.
+
+Из подобия треугольников (см. чертёж) следует соотношение между размером пятна $\delta$ и смещением изображения $\Delta b$:
+\[
+\frac{\delta}{\Delta b} = \frac{2R}{b} \implies \Delta b = \frac{\delta \cdot b}{2R} = \delta \cdot d
+\]
+
+Запишем формулу тонкой линзы для ближней $a_1$ и дальней $a_2$ границ резкости:
+\begin{align}
+\frac{1}{a_1} + \frac{1}{b + \Delta b} &= D \implies \frac{1}{a_1} + \frac{1}{b + \delta d} = D \label{eq:a1_exact} \\
+\frac{1}{a_2} + \frac{1}{b - \Delta b} &= D \implies \frac{1}{a_2} + \frac{1}{b - \delta d} = D \label{eq:a2_exact}
+\end{align}
+
+---
+
+\subsection*{2. Упрощение формул для практических расчётов}
+
+Так как величина пятна рассеяния $\delta d$ значительно меньше расстояния до фотоплёнки $b$ ($\delta d \ll b$), воспользуемся приближением для малых величин $\dfrac{1}{1 \pm x} \approx 1 \mp x$:
+
+\[
+\frac{1}{b \pm \delta d} = \frac{1}{b \left(1 \pm \dfrac{\delta d}{b}\right)} \approx \frac{1}{b} \mp \frac{\delta d}{b^2}
+\]
+
+Подставив это выражение в уравнения \eqref{eq:a1_exact} и \eqref{eq:a2_exact}, с учётом основной формулы линзы \eqref{eq:lens} ($\frac{1}{b} = D - \frac{1}{a}$), получим удобные рабочие соотношения:
+
+\begin{equation}
+\frac{1}{a_1} = \frac{1}{a} + \frac{\delta b^2}{d^{-1}} \dots \implies \frac{1}{a_1} = \frac{1}{a} + \frac{\delta d}{b^2}
+\label{eq:a1}
+\end{equation}
+\begin{equation}
+\frac{1}{a_2} = \frac{1}{a} - \frac{\delta d}{b^2}
+\label{eq:a2}
+\end{equation}
+
+---
+
+\subsection*{3. Определение параметров системы из условия}
+
+По условию при диафрагме $d_0 = 4$ границы резкости равны $a_1 = 2\text{ м}$ и $a_2 = 4\text{ м}$.
+
+1. **Расстояние фокусировки $a$:** \\
+Сложим уравнения \eqref{eq:a1} и \eqref{eq:a2}:
+\[
+\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} = \frac{2}{a} \implies a = \frac{2 a_1 a_2}{a_1 + a_2}
+\]
+Подставим известные значения:
+\[
+a = \frac{2 \cdot 2 \cdot 4}{2 + 4} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}\text{ м} \approx 2{,}67\text{ м}
+\]
+
+2. **Константа глубины резкости ($\frac{\delta}{b^2}$):** \\
+Вычтем из уравнения \eqref{eq:a1} уравнение \eqref{eq:a2}:
+\[
+\frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2} = \frac{2 \delta d_0}{b^2} \implies \frac{\delta}{b^2} = \frac{1}{2 d_0} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2} \right)
+\]
+Вычислим значение постоянного коэффициента:
+\[
+\frac{\delta}{b^2} = \frac{1}{2 \cdot 4} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{32}\text{ м}^{-1}
+\]
+
+---
+
+\subsection*{4. Расчёт границ резкости для заданных диафрагм}
+
+Теперь подставим найденные величины $\frac{1}{a} = \frac{3}{8}\text{ м}^{-1}$ и $\frac{\delta}{b^2} = \frac{1}{32}\text{ м}^{-1}$ в общие формулы \eqref{eq:a1} и \eqref{eq:a2}:
+
+\[
+\frac{1}{a_1} = \frac{3}{8} + \frac{d}{32}, \qquad \frac{1}{a_2} = \frac{3}{8} - \frac{d}{32}
+\]
+
+\subsubsection*{Случай 1: Диафрагма $d = 2$}
+\[
+\frac{1}{a_1} = \frac{3}{8} + \frac{2}{32} = \frac{12 + 2}{32} = \frac{14}{32} = \frac{7}{16}\text{ м}^{-1} \implies a_1 = \frac{16}{7}\text{ м} \approx \mathbf{2{,}29\text{ м}}
+\]
+\[
+\frac{1}{a_2} = \frac{3}{8} - \frac{2}{32} = \frac{12 - 2}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}\text{ м}^{-1} \implies a_2 = \frac{16}{5}\text{ м} = \mathbf{3{,}20\text{ м}}
+\]
+
+\subsubsection*{Случай 2: Диафрагма $d = 8$}
+\[
+\frac{1}{a_1} = \frac{3}{8} + \frac{8}{32} = \frac{12 + 8}{32} = \frac{20}{32} = \frac{5}{8}\text{ м}^{-1} \implies a_1 = \frac{8}{5}\text{ м} = \mathbf{1{,}60\text{ м}}
+\]
+\[
+\frac{1}{a_2} = \frac{3}{8} - \frac{8}{32} = \frac{12 - 8}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}\text{ м}^{-1} \implies a_2 = \mathbf{8{,}00\text{ м}}
+\]
+
+---
+
+\subsection*{Ответ}
+\begin{itemize}
+ \item При диафрагме $d = 2$ границы резкости составляют от $\mathbf{2{,}29\text{ м}}$ до $\mathbf{3{,}20\text{ м}}$.
+ \item При диафрагме $d = 8$ границы резкости расширяются от $\mathbf{1{,}60\text{ м}}$ до $\mathbf{8{,}00\text{ м}}$.
+\end{itemize}
+
+\end{document}
+
+#### Ответ
+
+[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]