| @@ -1,193 +1,85 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $13.3.11.$ [Вставьте условие задачи] |
| $13.3.11.$ Изображение предметов, удалённых от фотоаппарата на расстояние от $a_1 = 2\text{ м}$ до $a_2 = 4\text{ м}$, получилось достаточно резким при диафрагме $d = 4$. Определите границы резко изображаемого пространства (глубину резкости) при значениях диафрагмы $d = 2$ и $d = 8$. |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| 1. Теоретическая часть |
| |
| |
| \documentclass[12pt,a4paper]{article} |
| |
| \usepackage[utf8]{inputenc} |
| |
| \usepackage[T2A]{fontenc} |
| |
| \usepackage[russian]{babel} |
| |
| \usepackage{amsmath,amssymb} |
| |
| \usepackage{geometry} |
| |
| \geometry{left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm} |
| |
| |
| |
| \usepackage{tikz} |
| |
| \usetikzlibrary{arrows.meta,calc,decorations.pathreplacing} |
| |
| |
| |
| \begin{document} |
| |
| |
| |
| \section*{Решение задачи о глубине резкости фотоаппарата} |
| |
| |
| |
| \textbf{Условие задачи:} \\ |
| |
| Изображение предметов, удалённых от фотоаппарата на расстояние от $a_1 = 2\text{ м}$ до $a_2 = 4\text{ м}$, получилось достаточно резким при диафрагме $d = 4$. Определите границы резко изображаемого пространства (глубину резкости) при значениях диафрагмы $d = 2$ и $d = 8$. |
| |
| |
| |
| --- |
| |
| |
| |
| \subsection*{1. Физические основы и математическая модель} |
| |
| |
| |
| В идеальной оптической системе точке в пространстве предметов соответствует точечное изображение. Однако на практике фотоплёнка или цифровая матрица обладают конечным разрешением. Границы резкости определяются минимально допустимым размером пятна рассеяния $\delta$ (диаметром пятна резкости) на фотоплёнке. |
| В идеальной оптической системе точке в пространстве предметов соответствует точечное изображение. Однако на практике фотоплёнка или цифровая матрица обладают конечным разрешением. Границы резкости определяются минимально допустимым размером пятна рассеяния $\delta$ (диаметром пятна резкости) на фотоплёнке. |
| |
| |
| \begin{center} |
|  |
| \begin{tikzpicture}[scale=0.95, >=stealth] |
| |
| % Оптическая ось |
| |
| \draw[dashdot, gray] (-6,0) -- (8,0) node[right, black] {оптическая ось}; |
| |
| |
| |
| % Тонкая линза (объектив) |
| |
| \draw[thick, <->] (0,-3) -- (0,3) node[above] {Объектив}; |
| |
| \node[below left] at (0,0) {$O$}; |
| |
| |
| |
| % Диафрагма (радиус R) |
| Для предмета на расстоянии $a$, сфокусированного на фотоплёнку (расстояние $b$), формула тонкой линзы имеет вид: |
| \draw[ultra thick, line cap=round] (0,1.8) -- (0,3); |
| \[ |
| \draw[ultra thick, line cap=round] (0,-1.8) -- (0,-3); |
| |
| \draw[<->, red!80!black] (-0.3,0) -- (-0.3,1.8) node[midway, left] {$R$}; |
| |
| |
| |
| % Точка фокусировки S и её изображение S' |
| |
| \fill (-4,0) circle (2pt) node[below] {$S$}; |
| |
| \fill (3,0) circle (2pt) node[below left] {$S'$}; |
| |
| |
| |
| % Лучи от точки S |
| |
| \draw[blue!70!black] (-4,0) -- (0,1.8) -- (3,0); |
| |
| \draw[blue!70!black] (-4,0) -- (0,-1.8) -- (3,0); |
| |
| |
| |
| % Плоскость фотопленки |
| |
| \draw[thick, darkgray] (3,-2.5) -- (3,2.5) node[above, black] {Плёнка}; |
| |
| |
| |
| % Точка S1 (ближе) и ее изображение S1' |
| |
| \fill[red!80!black] (-5.5,0) circle (2pt) node[below] {$S_1$}; |
| |
| \fill[red!80!black] (4.2,0) circle (2pt) node[below] {$S_1'$}; |
| |
| |
| |
| % Лучи от S1 через край диафрагмы |
| |
| \draw[red!80!black, dashed] (-5.5,0) -- (0,1.8) -- (4.2,0); |
| |
| \draw[red!80!black, dashed] (-5.5,0) -- (0,-1.8) -- (4.2,0); |
| |
| |
| |
| % Пятно резкости delta на пленке от точки S1 |
| |
| \draw[line width=1.5pt, red!80!black] (3,0.514) -- (3,-0.514); |
| |
| \draw[decorate, decoration={brace, mirror, raise=2pt}] (3,-0.514) -- (3,0.514) |
| |
| node[pos=0.5, right=4pt, red!80!black] {$\delta$}; |
| |
| |
| |
| % Размеры расстояний |
| |
| \draw[<->] (-4,-1.2) -- (0,-1.2) node[midway, fill=white] {$a$}; |
| |
| \draw[<->] (0,-1.2) -- (3,-1.2) node[midway, fill=white] {$b$}; |
| |
| \draw[<->] (3,-1.2) -- (4.2,-1.2) node[midway, fill=white] {$\Delta b$}; |
| |
| |
| |
| \end{tikzpicture} |
| |
| \end{center} |
| |
| |
| |
| Примем следующие обозначения: |
| |
| \begin{itemize} |
| |
| \item $a$ — расстояние от объектива до предмета $S$, на который сфокусирован объектив; |
| |
| \item $b$ — расстояние от объектива до плоскости плёнки (изображения $S'$); |
| |
| \item $D$ — оптическая сила объектива; |
| |
| \item $R$ — радиус светового отверстия (прозрачной части) объектива; |
| |
| \item $d$ — значение диафрагменного числа (диафрагма), равное отношению фокусного расстояния к диаметру отверстия: |
| |
| \[ |
| |
| d \approx \frac{b}{2R} \implies \frac{R}{b} = \frac{1}{2d} |
| |
| \] |
| |
| \end{itemize} |
| |
| |
| |
| Для предмета $S$, находящегося в фокусе, справедлива формула тонкой линзы: |
| |
| \begin{equation} |
| |
| \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = D |
| \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = D |
| \label{eq:lens} |
| \] |
| \end{equation} |
| где $D$ — оптическая сила объектива. |
| |
| |
| Для предельных точек $S_1$ (расстояние $a_1$) и $S_2$ (расстояние $a_2$), изображения которых $S_1'$ и $S_2'$ смещены вдоль оптической оси на расстояние $\Delta b$, пересечение конуса лучей с плоскостью фотоплёнки образует пятно диаметром $\delta$. |
| Для передней ($a_1$) и задней ($a_2$) границ резкости с учётом смещения изображения $\Delta b = \delta \cdot d$ получаем приближённые формулы: |
| |
| |
| Из подобия треугольников (см. чертёж) следует соотношение между размером пятна $\delta$ и смещением изображения $\Delta b$: |
| |
| \[ |
| \[ |
| \frac{\delta}{\Delta b} = \frac{2R}{b} \implies \Delta b = \frac{\delta \cdot b}{2R} = \delta \cdot d |
| \frac{1}{a_1} = \frac{1}{a} + \frac{\delta d}{b^2} |
| \] |
| \] |
| |
| |
| Запишем формулу тонкой линзы для ближней $a_1$ и дальней $a_2$ границ резкости: |
| |
| \begin{align} |
| |
| \frac{1}{a_1} + \frac{1}{b + \Delta b} &= D \implies \frac{1}{a_1} + \frac{1}{b + \delta d} = D \label{eq:a1_exact} \\ |
| |
| \frac{1}{a_2} + \frac{1}{b - \Delta b} &= D \implies \frac{1}{a_2} + \frac{1}{b - \delta d} = D \label{eq:a2_exact} |
| |
| \end{align} |
| |
| |
| |
| --- |
| |
| |
| |
| \subsection*{2. Упрощение формул для практических расчётов} |
| |
| |
| |
| Так как величина пятна рассеяния $\delta d$ значительно меньше расстояния до фотоплёнки $b$ ($\delta d \ll b$), воспользуемся приближением для малых величин $\dfrac{1}{1 \pm x} \approx 1 \mp x$: |
| |
| |
| |
| \[ |
| \[ |
| \frac{1}{b \pm \delta d} = \frac{1}{b \left(1 \pm \dfrac{\delta d}{b}\right)} \approx \frac{1}{b} \mp \frac{\delta d}{b^2} |
| \frac{1}{a_2} = \frac{1}{a} - \frac{\delta d}{b^2} |
| \] |
| \] |
| |
| |
| Подставив это выражение в уравнения \eqref{eq:a1_exact} и \eqref{eq:a2_exact}, с учётом основной формулы линзы \eqref{eq:lens} ($\frac{1}{b} = D - \frac{1}{a}$), получим удобные рабочие соотношения: |
| 2. Нахождение параметров системы |
| |
| |
| \begin{equation} |
| По условию при диафрагме $d = 4$ границы резкости равны $a_1 = 2\text{ м}$ и $a_2 = 4\text{ м}$. |
| \frac{1}{a_1} = \frac{1}{a} + \frac{\delta b^2}{d^{-1}} \dots \implies \frac{1}{a_1} = \frac{1}{a} + \frac{\delta d}{b^2} |
| |
| \label{eq:a1} |
| |
| \end{equation} |
| |
| \begin{equation} |
| |
| \frac{1}{a_2} = \frac{1}{a} - \frac{\delta d}{b^2} |
| |
| \label{eq:a2} |
| |
| \end{equation} |
| |
| |
| |
| --- |
| Расстояние фокусировки $a$: |
| |
| |
| \subsection*{3. Определение параметров системы из условия} |
| Сложим два уравнения: |
| |
| |
| По условию при диафрагме $d_0 = 4$ границы резкости равны $a_1 = 2\text{ м}$ и $a_2 = 4\text{ м}$. |
| |
| |
| |
| 1. **Расстояние фокусировки $a$:** \\ |
| |
| Сложим уравнения \eqref{eq:a1} и \eqref{eq:a2}: |
| |
| \[ |
| \[ |
| \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} = \frac{2}{a} \implies a = \frac{2 a_1 a_2}{a_1 + a_2} |
| \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} = \frac{2}{a} \implies a = \frac{2 a_1 a_2}{a_1 + a_2} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 4}{2 + 4} = \frac{8}{3}\text{ м} \approx 2{,}67\text{ м} |
| \] |
| \] |
| Подставим известные значения: |
| Отсюда: |
| \[ |
| \[ |
| a = \frac{2 \cdot 2 \cdot 4}{2 + 4} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}\text{ м} \approx 2{,}67\text{ м} |
| \frac{1}{a} = \frac{3}{8}\text{ м}^{-1} |
| \] |
| \] |
| |
| |
| 2. **Константа глубины резкости ($\frac{\delta}{b^2}$):** \\ |
| Коэффициент $\dfrac{\delta}{b^2}$: |
| Вычтем из уравнения \eqref{eq:a1} уравнение \eqref{eq:a2}: |
| |
| |
| Вычтем одно уравнение из другого: |
| \[ |
| \[ |
| \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2} = \frac{2 \delta d_0}{b^2} \implies \frac{\delta}{b^2} = \frac{1}{2 d_0} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2} \right) |
| \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2} = \frac{2 \delta d}{b^2} \implies \frac{\delta}{b^2} = \frac{1}{2d} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2} \right) |
| \] |
| \] |
| Вычислим значение постоянного коэффициента: |
| Подставим $d = 4$: |
| \[ |
| \[ |
| \frac{\delta}{b^2} = \frac{1}{2 \cdot 4} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{32}\text{ м}^{-1} |
| \frac{\delta}{b^2} = \frac{1}{2 \cdot 4} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{32}\text{ м}^{-1} |
| \] |
| \] |
| |
| |
| --- |
| 3. Расчёт границ резкости: |
| |
| |
| \subsection*{4. Расчёт границ резкости для заданных диафрагм} |
| Общие формулы принимают вид: |
| |
| |
| Теперь подставим найденные величины $\frac{1}{a} = \frac{3}{8}\text{ м}^{-1}$ и $\frac{\delta}{b^2} = \frac{1}{32}\text{ м}^{-1}$ в общие формулы \eqref{eq:a1} и \eqref{eq:a2}: |
| |
| |
| |
| \[ |
| \[ |
| \frac{1}{a_1} = \frac{3}{8} + \frac{d}{32}, \qquad \frac{1}{a_2} = \frac{3}{8} - \frac{d}{32} |
| \frac{1}{a_1} = \frac{3}{8} + \frac{d}{32}, \qquad \frac{1}{a_2} = \frac{3}{8} - \frac{d}{32} |
| \] |
| \] |
| |
| |
| \subsubsection*{Случай 1: Диафрагма $d = 2$} |
| При $d = 2$: |
| \[ |
| \[ |
| \frac{1}{a_1} = \frac{3}{8} + \frac{2}{32} = \frac{12 + 2}{32} = \frac{14}{32} = \frac{7}{16}\text{ м}^{-1} \implies a_1 = \frac{16}{7}\text{ м} \approx \mathbf{2{,}29\text{ м}} |
| \frac{1}{a_1} = \frac{3}{8} + \frac{2}{32} = \frac{14}{32} \implies a_1 = \frac{32}{14} \approx 2{,}29\text{ м} |
| \] |
| \] |
| \[ |
| \[ |
| \frac{1}{a_2} = \frac{3}{8} - \frac{2}{32} = \frac{12 - 2}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}\text{ м}^{-1} \implies a_2 = \frac{16}{5}\text{ м} = \mathbf{3{,}20\text{ м}} |
| \frac{1}{a_2} = \frac{3}{8} - \frac{2}{32} = \frac{10}{32} \implies a_2 = \frac{32}{10} = 3{,}20\text{ м} |
| \] |
| \] |
| |
| |
| \subsubsection*{Случай 2: Диафрагма $d = 8$} |
| При $d = 8$: |
| \[ |
| \[ |
| \frac{1}{a_1} = \frac{3}{8} + \frac{8}{32} = \frac{12 + 8}{32} = \frac{20}{32} = \frac{5}{8}\text{ м}^{-1} \implies a_1 = \frac{8}{5}\text{ м} = \mathbf{1{,}60\text{ м}} |
| \frac{1}{a_1} = \frac{3}{8} + \frac{8}{32} = \frac{20}{32} \implies a_1 = \frac{32}{20} = 1{,}60\text{ м} |
| \] |
| \] |
| \[ |
| \[ |
| \frac{1}{a_2} = \frac{3}{8} - \frac{8}{32} = \frac{12 - 8}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}\text{ м}^{-1} \implies a_2 = \mathbf{8{,}00\text{ м}} |
| \frac{1}{a_2} = \frac{3}{8} - \frac{8}{32} = \frac{4}{32} \implies a_2 = \frac{32}{4} = 8{,}00\text{ м} |
| \] |
| \] |
| |
| |
| --- |
| |
| |
| |
| \subsection*{Ответ} |
| |
| \begin{itemize} |
| |
| \item При диафрагме $d = 2$ границы резкости составляют от $\mathbf{2{,}29\text{ м}}$ до $\mathbf{3{,}20\text{ м}}$. |
| |
| \item При диафрагме $d = 8$ границы резкости расширяются от $\mathbf{1{,}60\text{ м}}$ до $\mathbf{8{,}00\text{ м}}$. |
| |
| \end{itemize} |
| |
| |
| |
| \end{document} |
| |
| |
| |
| |
| |
| #### Ответ |
| #### Ответ |
| |
| |
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] |
| При $d = 2$: границы резкости от $2{,}29\text{ м}$ до $3{,}20\text{ м}$. |
| |
| |
| |
| При $d = 8$: границы резкости от $1{,}60\text{ м}$ до $8{,}00\text{ м}$. |
