Решение

1. Теоретическая часть

В идеальной оптической системе точке в пространстве предметов соответствует точечное изображение. Однако на практике фотоплёнка или цифровая матрица обладают конечным разрешением. Границы резкости определяются минимально допустимым размером пятна рассеяния $\delta$ (диаметром пятна резкости) на фотоплёнке.

Для предмета на расстоянии $a$, сфокусированного на фотоплёнку (расстояние $b$), формула тонкой линзы имеет вид:
$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = D$$
где $D$ — оптическая сила объектива.

Для передней ($a_1$) и задней ($a_2$) границ резкости с учётом смещения изображения $\Delta b = \delta \cdot d$ получаем приближённые формулы:
$$\frac{1}{a_1} = \frac{1}{a} + \frac{\delta d}{b^2}$$
$$\frac{1}{a_2} = \frac{1}{a} - \frac{\delta d}{b^2}$$

2. Нахождение параметров системы

По условию при диафрагме $d = 4$ границы резкости равны $a_1 = 2\text{ м}$ и $a_2 = 4\text{ м}$.

Расстояние фокусировки $a$:

Сложим два уравнения:
$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} = \frac{2}{a} \implies a = \frac{2 a_1 a_2}{a_1 + a_2} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 4}{2 + 4} = \frac{8}{3}\text{ м} \approx 2{,}67\text{ м}$$
Отсюда:
$$\frac{1}{a} = \frac{3}{8}\text{ м}^{-1}$$

Коэффициент $\dfrac{\delta}{b^2}$:

Вычтем одно уравнение из другого:
$$\frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2} = \frac{2 \delta d}{b^2} \implies \frac{\delta}{b^2} = \frac{1}{2d} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2} \right)$$
Подставим $d = 4$:
$$\frac{\delta}{b^2} = \frac{1}{2 \cdot 4} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{32}\text{ м}^{-1}$$

3. Расчёт границ резкости:

Общие формулы принимают вид:
$$\frac{1}{a_1} = \frac{3}{8} + \frac{d}{32}, \qquad \frac{1}{a_2} = \frac{3}{8} - \frac{d}{32}$$

При $d = 2$:
$$\frac{1}{a_1} = \frac{3}{8} + \frac{2}{32} = \frac{14}{32} \implies a_1 = \frac{32}{14} \approx 2{,}29\text{ м}$$
$$\frac{1}{a_2} = \frac{3}{8} - \frac{2}{32} = \frac{10}{32} \implies a_2 = \frac{32}{10} = 3{,}20\text{ м}$$

При $d = 8$:
$$\frac{1}{a_1} = \frac{3}{8} + \frac{8}{32} = \frac{20}{32} \implies a_1 = \frac{32}{20} = 1{,}60\text{ м}$$
$$\frac{1}{a_2} = \frac{3}{8} - \frac{8}{32} = \frac{4}{32} \implies a_2 = \frac{32}{4} = 8{,}00\text{ м}$$