Решение

Пробка перекрывает два отверстия разного радиуса $r$ и $R$, образуя усечённый конус с высотой $h$. Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:

$$V=\frac{1}{3}\pi h(r^{2}+R^{2}+rR)$$

Архимедова сила $F_A$ равна весу вытесненной жидкости, а значит:

$$F_A = \rho g V$$

где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения.
Подставляем объём усечённого конуса:

$$F_A = \rho g \cdot \frac{1}{3} \pi h \left(r^2 + R^2 + rR\right)$$

Давление жидкости действует на все поверхности пробки, но силу $F$, действующую на пробку, можно представить как разность:

$$F = F_A - F_g$$

где $F_g$ — сила давления на нижнее основание пробки.

Давление $p$ на глубине $h$:

$$p = \rho g h$$

Сила $F_g$, действующая на нижнее основание радиуса $r$:

$$F_g = \pi r^2 p$$

Подставляем значения в формулу $F$:

$$F = \frac{\rho g \pi h \left(r^2 + R^2 + rR\right)}{3} - \pi r^2 p$$

Заменяем $\rho g h$ на $p$:

$$F = \frac{\pi p \left(r^2 + R^2 + rR\right)}{3} - \pi r^2 p$$

Приводим к общему знаменателю:

$$F = \frac{\pi p \left(R^2 + rR - 2r^2\right)}{3}$$