Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/4.1.6.md
+13 −56
| ### Условие: | |||
| $4.1.6.$ Коническая пробка перекрывает сразу два отверстия в плоском сосуде, заполненном жидкостью при давлении $P$. Радиус отверстий $r$ и $R$. Определите силу, действующую на пробку со стороны жидкости. | |||
| @@ -4,67 +4,24 @@Условие: | |||
|  | |||
| − | ### | ||
| + | ### Решение | ||
| − |  | ||
| + | Поскольку сосуд плоский, давлением столба самой жидкости можно пренебречь. Давление жидкости $P$ однородно и одинаково во всех точках внутри сосуда. | ||
| − |  | ||
| + | Сила, с которой жидкость давит на криволинейную поверхность (в данном случае — на боковую поверхность усеченного конуса), направлена перпендикулярно этой поверхности. Нас интересует вертикальная составляющая этой силы, которая стремится вытолкнуть пробку. | ||
| − | П | ||
| + | По законам гидростатики, вертикальная составляющая силы давления однородной жидкости на любую поверхность равна произведению давления на площадь горизонтальной проекции этой поверхности. | ||
| − | $$ | ||
| − | V=\frac{1}{3}\pi h(r^{2}+R^{2}+rR) | ||
| − | $$ | ||
| + | Спроецируем боковую поверхность усеченного конуса (находящуюся в контакте с жидкостью) на горизонтальную плоскость. Проекцией будет являться плоское кольцо, внешний радиус которого равен радиусу большего отверстия $R$, а внутренний — радиусу меньшего отверстия $r$. | ||
| − | |||
| + | Площадь этой проекции (площадь кольца) равна разности площадей двух кругов: | ||
| + | $$ S_{\text{пр}} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2) $$ | ||
| − | \[ | ||
| − | |||
| − | \] | ||
| + | Тогда искомая сила давления жидкости на пробку вычисляется как: | ||
| + | $$ F = P \cdot S_{\text{пр}} $$ | ||
| + | $$ F = \pi P(R^2 - r^2) $$ | ||
| − | |||
| − | Подставляем объём усечённого конуса: | ||
| + | Сила будет направлена вверх (в сторону большего отверстия), так как жидкость давит на стенки конуса извне, стремясь вытолкнуть его в сторону расширения. | ||
| − | \[ | ||
| − | |||
| − | \] | ||
| − | |||
| − | Давление жидкости действует на все поверхности пробки, но силу \( F \), действующую на пробку, можно представить как разность: | ||
| − | |||
| − | \[ | ||
| − | F = F_A - F_g | ||
| − | \] | ||
| − | |||
| − | где \( F_g \) — сила давления на нижнее основание пробки. | ||
| − | |||
| − | Давление \( p \) на глубине \( h \): | ||
| − | |||
| − | \[ | ||
| − | p = \rho g h | ||
| − | \] | ||
| − | |||
| − | Сила \( F_g \), действующая на нижнее основание радиуса \( r \): | ||
| − | |||
| − | \[ | ||
| − | F_g = \pi r^2 p | ||
| − | \] | ||
| − | |||
| − | Подставляем значения в формулу \( F \): | ||
| − | |||
| − | \[ | ||
| − | F = \frac{\rho g \pi h \left(r^2 + R^2 + rR\right)}{3} - \pi r^2 p | ||
| − | \] | ||
| − | |||
| − | Заменяем \( \rho g h \) на \( p \): | ||
| − | |||
| − | \[ | ||
| − | F = \frac{\pi p \left(r^2 + R^2 + rR\right)}{3} - \pi r^2 p | ||
| − | \] | ||
| − | |||
| − | Приводим к общему знаменателю: | ||
| − | |||
| − | \[ | ||
| − | F = \frac{\pi p \left(R^2 + rR - 2r^2\right)}{3} | ||
| − | \] | ||
| − | |||
| − | #### Ответ: $F=\frac{\pi pd(R^{2}+rR-2r^{2})}{3}$ | ||
| + | ### Ответ | ||
| + | $$ F = \pi P(R^2 - r^2) $$ | ||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $4.1.6.$ Коническая пробка перекрывает сразу два отверстия в плоском сосуде, заполненном жидкостью при давлении $P$. Радиус отверстий $r$ и $R$. Определите силу, действующую на пробку со стороны жидкости. | $4.1.6.$ Коническая пробка перекрывает сразу два отверстия в плоском сосуде, заполненном жидкостью при давлении $P$. Радиус отверстий $r$ и $R$. Определите силу, действующую на пробку со стороны жидкости. | ||
| @@ -4,67 +4,24 @@Условие: | |||
|  |  | ||
| ### |
### Решение | ||
|  | Поскольку сосуд плоский, давлением столба самой жидкости можно пренебречь. Давление жидкости $P$ однородно и одинаково во всех точках внутри сосуда. | ||
|  | Сила, с которой жидкость давит на криволинейную поверхность (в данном случае — на боковую поверхность усеченного конуса), направлена перпендикулярно этой поверхности. Нас интересует вертикальная составляющая этой силы, которая стремится вытолкнуть пробку. | ||
| П |
По законам гидростатики, вертикальная составляющая силы давления однородной жидкости на любую поверхность равна произведению давления на площадь горизонтальной проекции этой поверхности. | ||
| $$ | Спроецируем боковую поверхность усеченного конуса (находящуюся в контакте с жидкостью) на горизонтальную плоскость. Проекцией будет являться плоское кольцо, внешний радиус которого равен радиусу большего отверстия $R$, а внутренний — радиусу меньшего отверстия $r$. | ||
| V=\frac{1}{3}\pi h(r^{2}+R^{2}+rR) | |||
| $$ | |||
| Площадь этой проекции (площадь кольца) равна разности площадей двух кругов: | |||
| $$ S_{\text{пр}} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2) $$ | |||
| \[ | Тогда искомая сила давления жидкости на пробку вычисляется как: | ||
| $$ F = P \cdot S_{\text{пр}} $$ | |||
| \] | $$ F = \pi P(R^2 - r^2) $$ | ||
| Сила будет направлена вверх (в сторону большего отверстия), так как жидкость давит на стенки конуса извне, стремясь вытолкнуть его в сторону расширения. | |||
| Подставляем объём усечённого конуса: | |||
| \[ | ### Ответ | ||
| $$ F = \pi P(R^2 - r^2) $$ | |||
| \] | |||
| Давление жидкости действует на все поверхности пробки, но силу \( F \), действующую на пробку, можно представить как разность: | |||
| \[ | |||
| F = F_A - F_g | |||
| \] | |||
| где \( F_g \) — сила давления на нижнее основание пробки. | |||
| Давление \( p \) на глубине \( h \): | |||
| \[ | |||
| p = \rho g h | |||
| \] | |||
| Сила \( F_g \), действующая на нижнее основание радиуса \( r \): | |||
| \[ | |||
| F_g = \pi r^2 p | |||
| \] | |||
| Подставляем значения в формулу \( F \): | |||
| \[ | |||
| F = \frac{\rho g \pi h \left(r^2 + R^2 + rR\right)}{3} - \pi r^2 p | |||
| \] | |||
| Заменяем \( \rho g h \) на \( p \): | |||
| \[ | |||
| F = \frac{\pi p \left(r^2 + R^2 + rR\right)}{3} - \pi r^2 p | |||
| \] | |||
| Приводим к общему знаменателю: | |||
| \[ | |||
| F = \frac{\pi p \left(R^2 + rR - 2r^2\right)}{3} | |||
| \] | |||
| #### Ответ: $F=\frac{\pi pd(R^{2}+rR-2r^{2})}{3}$ | |||