Правка разделов «Решение», «Ответ»

hrant правка от 10 авг. 2026 г., 17:59

правка #19967 предыдущая #19964 ← раньше

ru/6.3.10.md +41 −1

			### Условие

			$6.3.10.$ а. Докажите, что внешнее электрическое поле эллипсоида из задачи 6.1.20а перпендикулярно его поверхности.

			б. Проводящий эллипсоид получен из сферы уменьшением ее размеров в одном направлении в $n$ раз. Длина большой полуоси эллипсоида $R$, его полный заряд $Q$. Определите максимальную и минимальную напряженность внешнего электрического поля вблизи поверхности эллипсоида.

			в. Определите максимальную напряженность электрического поля длинного металлического заряженного провода эллиптического сечения. Длина малой полуоси эллипса $b$, линейная плотность заряда провода $\rho$.

			### Решение

			а. В задаче 6.1.20а эллипсоид проводящий, а значит и эквипотенциальный. Если взять малый участок поверхности, то у эл. поля будет только вертикальное составляющее. Другими словами

			![К задаче $6.3.10a$\|2122x920, 100%](../../img/6.3.10/Screenshot 2026-08-10 at 15.03.15.png)

			$\mathbf{E} = -\nabla\varphi$. .к. $E_x = -\frac{\partial \varphi}{\partial x} = 0,\quad$
			$E_y = -\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 0,\quad$ $E_z = -\frac{\partial \varphi}{\partial y} \neq 0$
		@@ -17,7 +17,7 @@Решение

			б.

		−	![К задаче $6.3.10$\|2046x1062, 100%](../../img/6.3.10/Screenshot 2026-08-10 at 15.44.15.png)
		+	![К задаче $6.3.10б$\|2046x1062, 100%](../../img/6.3.10/Screenshot 2026-08-10 at 15.44.15.png)

			$dV = dN \cdot dS$ (1)

			$dV \cdot \rho = dQ$ (2)

			$\sigma = \frac{d V \cdot \rho}{dS}$ (3)

			$V \sim N^3$ $\rightarrow$ $V = k \cdot N^3$

			Логарифмируем обе части и дифференцируем

			$lnV = lnk + 3lnN$

			$\frac{\Delta {V}}{V} = \frac{3\partial {N}}{N}$ (4)

			$dQ = \rho dV$ $\rightarrow$ $Q = \int \rho dV$ $\rightarrow$ $Q = \rho \Delta V$ , где $\Delta V$ тонький слой, который виден на рисунке между эллипсоидами.

			Из (1) и (4): $dS = \frac {3V}{N}$, поставим это в (3): $\sigma = \frac {N \cdot \rho dV}{3V}$

			$\rho \delta V = Q$ $\rightarrow$ $\sigma = \frac{QN}{3V}$

			$V = \frac{4}{3} \pi \frac {R^3}{n}$

			$E = \frac {\sigma}{\epsilon_0}$ - граничное условие

			$E = \frac {QNn}{4 \pi \epsilon_0 R^3}$

			$N_{\text{min}} = \frac{R}{n} \quad \text{и} \quad N_{\text{max}} = R$
		@@ -49,6 +49,46 @@Решение

			$E_{\text{min}} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \quad \text{и} \quad E_{\text{max}} = \frac{Qn}{4 \pi \epsilon_0 R^2}$

		+	в.
		+
		+	![К задаче $6.3.10$\|2044x990, 100%](../../img/6.3.10/Screenshot 2026-08-10 at 21.57.45.png)
		+
		+	$dA = dN \cdot ds$ (1)
		+
		+	$dA \cdot \rho_S = d\rho$ (2), где $\rho_S$ - плотность заряда провода по площади сечения, а $d\rho$ — заряд слоя $dA$ на единицу длины провода
		+
		+	$d\rho = \rho_S dA$
		+
		+	$\sigma = \frac{d A \cdot \rho_S}{ds}$ (3)
		+
		+	$A \sim N^2$ $\rightarrow$ $A = k \cdot N^2$
		+
		+	Логарифмируем обе части и дифференцируем
		+
		+	$lnA = lnk + 2lnN$
		+
		+	$\frac{\Delta {A}}{A} = \frac{2\partial {N}}{N}$ (4)
		+
		+	$d\rho = \rho_S dA$ $\rightarrow$ $\rho = \int \rho_S dA$ $\rightarrow$ $\rho = \rho_S \Delta A$, где $\Delta A$ тонкий слой, который виден между эллипсами.
		+
		+	Из (1) и (4): $ds = \frac {2A}{N}$, поставим это в (3): $\sigma = \frac {N \cdot \rho_S dA}{2A}$
		+
		+	$\rho_S \delta A = \rho$ $\rightarrow$ $\sigma = \frac{\rho N}{2A}$
		+
		+	$A = \pi a b$
		+
		+	$E = \frac {\sigma}{\epsilon_0}$ - граничное условие
		+
		+	$E = \frac {\rho N}{2 \pi \epsilon_0 a b}$
		+
		+	$N_{\text{max}} = a$
		+
		+	$E_{\text{max}} = \frac{\rho}{2 \pi \epsilon_0 b}$
		+
		+
		+
			#### Ответ

			б. $E_{\text{min}} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \quad \text{и} \quad E_{\text{max}} = \frac{Qn}{4 \pi \epsilon_0 R^2}$
		+
		+	в. $E_{\text{max}} = \frac{\rho}{2 \pi \epsilon_0 b}$

	### Условие		### Условие

	$6.3.10.$ а. Докажите, что внешнее электрическое поле эллипсоида из задачи 6.1.20а перпендикулярно его поверхности.		$6.3.10.$ а. Докажите, что внешнее электрическое поле эллипсоида из задачи 6.1.20а перпендикулярно его поверхности.

	б. Проводящий эллипсоид получен из сферы уменьшением ее размеров в одном направлении в $n$ раз. Длина большой полуоси эллипсоида $R$, его полный заряд $Q$. Определите максимальную и минимальную напряженность внешнего электрического поля вблизи поверхности эллипсоида.		б. Проводящий эллипсоид получен из сферы уменьшением ее размеров в одном направлении в $n$ раз. Длина большой полуоси эллипсоида $R$, его полный заряд $Q$. Определите максимальную и минимальную напряженность внешнего электрического поля вблизи поверхности эллипсоида.

	в. Определите максимальную напряженность электрического поля длинного металлического заряженного провода эллиптического сечения. Длина малой полуоси эллипса $b$, линейная плотность заряда провода $\rho$.		в. Определите максимальную напряженность электрического поля длинного металлического заряженного провода эллиптического сечения. Длина малой полуоси эллипса $b$, линейная плотность заряда провода $\rho$.

	### Решение		### Решение

	а. В задаче 6.1.20а эллипсоид проводящий, а значит и эквипотенциальный. Если взять малый участок поверхности, то у эл. поля будет только вертикальное составляющее. Другими словами		а. В задаче 6.1.20а эллипсоид проводящий, а значит и эквипотенциальный. Если взять малый участок поверхности, то у эл. поля будет только вертикальное составляющее. Другими словами

	![К задаче $6.3.10a$\|2122x920, 100%](../../img/6.3.10/Screenshot 2026-08-10 at 15.03.15.png)		![К задаче $6.3.10a$\|2122x920, 100%](../../img/6.3.10/Screenshot 2026-08-10 at 15.03.15.png)

	$\mathbf{E} = -\nabla\varphi$. .к. $E_x = -\frac{\partial \varphi}{\partial x} = 0,\quad$		$\mathbf{E} = -\nabla\varphi$. .к. $E_x = -\frac{\partial \varphi}{\partial x} = 0,\quad$
	$E_y = -\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 0,\quad$ $E_z = -\frac{\partial \varphi}{\partial y} \neq 0$		$E_y = -\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 0,\quad$ $E_z = -\frac{\partial \varphi}{\partial y} \neq 0$
	@@ -17,7 +17,7 @@Решение

	б.		б.

	![К задаче $6.3.10$\|2046x1062, 100%](../../img/6.3.10/Screenshot 2026-08-10 at 15.44.15.png)		![К задаче $6.3.10б$\|2046x1062, 100%](../../img/6.3.10/Screenshot 2026-08-10 at 15.44.15.png)

	$dV = dN \cdot dS$ (1)		$dV = dN \cdot dS$ (1)

	$dV \cdot \rho = dQ$ (2)		$dV \cdot \rho = dQ$ (2)

	$\sigma = \frac{d V \cdot \rho}{dS}$ (3)		$\sigma = \frac{d V \cdot \rho}{dS}$ (3)

	$V \sim N^3$ $\rightarrow$ $V = k \cdot N^3$		$V \sim N^3$ $\rightarrow$ $V = k \cdot N^3$

	Логарифмируем обе части и дифференцируем		Логарифмируем обе части и дифференцируем

	$lnV = lnk + 3lnN$		$lnV = lnk + 3lnN$

	$\frac{\Delta {V}}{V} = \frac{3\partial {N}}{N}$ (4)		$\frac{\Delta {V}}{V} = \frac{3\partial {N}}{N}$ (4)

	$dQ = \rho dV$ $\rightarrow$ $Q = \int \rho dV$ $\rightarrow$ $Q = \rho \Delta V$ , где $\Delta V$ тонький слой, который виден на рисунке между эллипсоидами.		$dQ = \rho dV$ $\rightarrow$ $Q = \int \rho dV$ $\rightarrow$ $Q = \rho \Delta V$ , где $\Delta V$ тонький слой, который виден на рисунке между эллипсоидами.

	Из (1) и (4): $dS = \frac {3V}{N}$, поставим это в (3): $\sigma = \frac {N \cdot \rho dV}{3V}$		Из (1) и (4): $dS = \frac {3V}{N}$, поставим это в (3): $\sigma = \frac {N \cdot \rho dV}{3V}$

	$\rho \delta V = Q$ $\rightarrow$ $\sigma = \frac{QN}{3V}$		$\rho \delta V = Q$ $\rightarrow$ $\sigma = \frac{QN}{3V}$

	$V = \frac{4}{3} \pi \frac {R^3}{n}$		$V = \frac{4}{3} \pi \frac {R^3}{n}$

	$E = \frac {\sigma}{\epsilon_0}$ - граничное условие		$E = \frac {\sigma}{\epsilon_0}$ - граничное условие

	$E = \frac {QNn}{4 \pi \epsilon_0 R^3}$		$E = \frac {QNn}{4 \pi \epsilon_0 R^3}$

	$N_{\text{min}} = \frac{R}{n} \quad \text{и} \quad N_{\text{max}} = R$		$N_{\text{min}} = \frac{R}{n} \quad \text{и} \quad N_{\text{max}} = R$
	@@ -49,6 +49,46 @@Решение

	$E_{\text{min}} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \quad \text{и} \quad E_{\text{max}} = \frac{Qn}{4 \pi \epsilon_0 R^2}$		$E_{\text{min}} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \quad \text{и} \quad E_{\text{max}} = \frac{Qn}{4 \pi \epsilon_0 R^2}$

			в.

			![К задаче $6.3.10$\|2044x990, 100%](../../img/6.3.10/Screenshot 2026-08-10 at 21.57.45.png)

			$dA = dN \cdot ds$ (1)

			$dA \cdot \rho_S = d\rho$ (2), где $\rho_S$ - плотность заряда провода по площади сечения, а $d\rho$ — заряд слоя $dA$ на единицу длины провода

			$d\rho = \rho_S dA$

			$\sigma = \frac{d A \cdot \rho_S}{ds}$ (3)

			$A \sim N^2$ $\rightarrow$ $A = k \cdot N^2$

			Логарифмируем обе части и дифференцируем

			$lnA = lnk + 2lnN$

			$\frac{\Delta {A}}{A} = \frac{2\partial {N}}{N}$ (4)

			$d\rho = \rho_S dA$ $\rightarrow$ $\rho = \int \rho_S dA$ $\rightarrow$ $\rho = \rho_S \Delta A$, где $\Delta A$ тонкий слой, который виден между эллипсами.

			Из (1) и (4): $ds = \frac {2A}{N}$, поставим это в (3): $\sigma = \frac {N \cdot \rho_S dA}{2A}$

			$\rho_S \delta A = \rho$ $\rightarrow$ $\sigma = \frac{\rho N}{2A}$

			$A = \pi a b$

			$E = \frac {\sigma}{\epsilon_0}$ - граничное условие

			$E = \frac {\rho N}{2 \pi \epsilon_0 a b}$

			$N_{\text{max}} = a$

			$E_{\text{max}} = \frac{\rho}{2 \pi \epsilon_0 b}$



	#### Ответ		#### Ответ

	б. $E_{\text{min}} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \quad \text{и} \quad E_{\text{max}} = \frac{Qn}{4 \pi \epsilon_0 R^2}$		б. $E_{\text{min}} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \quad \text{и} \quad E_{\text{max}} = \frac{Qn}{4 \pi \epsilon_0 R^2}$

			в. $E_{\text{max}} = \frac{\rho}{2 \pi \epsilon_0 b}$