Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/10.1.7.md
+33 −2
| ### Условие | |||
| $10.1.7.$ Электрон влетает в область магнитного поля ширины l. Скорость | |||
| @@ -4,6 +4,37 @@Условие | |||
| электрона v перпендикулярна как индукции поля B, так и границам области. | |||
| Под каким углом к границе области электрон вылетит из магнитного поля? | |||
| − | ### Решение | ||
| + | ### Решение | ||
| − |  | ||
| + |  | ||
| + | |||
| + | Электрон в магнитном поле движется по дуге окружности. Радиус этой траектории $R$ определяется из равенства силы Лоренца и центростремительной силы: | ||
| + | $$e v B = \frac{m_e v^2}{R} \implies R = \frac{m_e v}{e B}$$ | ||
| + | |||
| + | В зависимости от ширины области $l$ возможны два случая. Найдем искомый угол $\beta$ между вектором скорости и границей области: | ||
| + | |||
| + | 1. Случай $l \le R$ (то есть $\frac{eB}{m_e} \le \frac{v}{l}$) | ||
| + | Электрон пролетает область насквозь и вылетает через правую границу. В процессе движения его вектор скорости поворачивается на угол $\theta$. Из геометрии чертежа синус этого угла равен отношению ширины области $l$ к радиусу $R$: | ||
| + | $$\sin\theta = \frac{l}{R} = \frac{e B l}{m_e v}$$ | ||
| + | |||
| + | Искомый угол $\beta$ между направлением вылета электрона и самой границей (вертикалью) дополняет угол $\theta$ до $90^\circ$: $\beta = \frac{\pi}{2} - \theta$. Следовательно: | ||
| + | $$\cos\beta = \sin\theta = \frac{e B l}{m_e v} \implies \beta = \arccos\left(\frac{e B l}{m_e v}\right)$$ | ||
| + | *(Если $l = R$, то $\cos\beta = 1$, откуда $\beta = 0$ — электрон вылетает касательно, параллельно границе).* | ||
| + | |||
| + | 2. Случай $l > R$ (то есть $\frac{eB}{m_e} > \frac{v}{l}$) | ||
| + | Электрон не достигает правой границы. Он описывает полуокружность в магнитном поле и вылетает обратно через левую границу. В момент вылета вектор его скорости направлен строго перпендикулярно левой границе. Следовательно, угол с границей составляет: | ||
| + | $$\beta = \frac{\pi}{2}$$ | ||
| + | |||
| + | #### Ответ | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | \beta = | ||
| + | \begin{cases} | ||
| + | \arccos\left(\frac{e B l}{m_e v}\right), & \text{при } l \le \frac{m_e v}{e B} \\ | ||
| + | \frac{\pi}{2}, & \text{при } l > \frac{m_e v}{e B} | ||
| + | \end{cases} | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | --- | ||
| + | **Примечание к официальному ответу:** | ||
| + | В ответе задачника Савченко указано: $\sin\alpha = \frac{eBl}{m_e v}$ (для первого случая) и $\alpha = \pi$ (для второго). Буква $\alpha$ в официальном ответе обозначает "угол поворота вектора скорости" относительно его начального направления (то есть угол между начальной и конечной скоростью). Однако при буквальном прочтении вопроса «Под каким углом к границе области...» решением является угол $\beta$, выведенный выше. | ||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $10.1.7.$ Электрон влетает в область магнитного поля ширины l. Скорость | $10.1.7.$ Электрон влетает в область магнитного поля ширины l. Скорость | ||
| @@ -4,6 +4,37 @@Условие | |||
| электрона v перпендикулярна как индукции поля B, так и границам области. | электрона v перпендикулярна как индукции поля B, так и границам области. | ||
| Под каким углом к границе области электрон вылетит из магнитного поля? | Под каким углом к границе области электрон вылетит из магнитного поля? | ||
| ### Решение |
### Решение | ||
|  |  | ||
| Электрон в магнитном поле движется по дуге окружности. Радиус этой траектории $R$ определяется из равенства силы Лоренца и центростремительной силы: | |||
| $$e v B = \frac{m_e v^2}{R} \implies R = \frac{m_e v}{e B}$$ | |||
| В зависимости от ширины области $l$ возможны два случая. Найдем искомый угол $\beta$ между вектором скорости и границей области: | |||
| 1. Случай $l \le R$ (то есть $\frac{eB}{m_e} \le \frac{v}{l}$) | |||
| Электрон пролетает область насквозь и вылетает через правую границу. В процессе движения его вектор скорости поворачивается на угол $\theta$. Из геометрии чертежа синус этого угла равен отношению ширины области $l$ к радиусу $R$: | |||
| $$\sin\theta = \frac{l}{R} = \frac{e B l}{m_e v}$$ | |||
| Искомый угол $\beta$ между направлением вылета электрона и самой границей (вертикалью) дополняет угол $\theta$ до $90^\circ$: $\beta = \frac{\pi}{2} - \theta$. Следовательно: | |||
| $$\cos\beta = \sin\theta = \frac{e B l}{m_e v} \implies \beta = \arccos\left(\frac{e B l}{m_e v}\right)$$ | |||
| *(Если $l = R$, то $\cos\beta = 1$, откуда $\beta = 0$ — электрон вылетает касательно, параллельно границе).* | |||
| 2. Случай $l > R$ (то есть $\frac{eB}{m_e} > \frac{v}{l}$) | |||
| Электрон не достигает правой границы. Он описывает полуокружность в магнитном поле и вылетает обратно через левую границу. В момент вылета вектор его скорости направлен строго перпендикулярно левой границе. Следовательно, угол с границей составляет: | |||
| $$\beta = \frac{\pi}{2}$$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| \beta = | |||
| \begin{cases} | |||
| \arccos\left(\frac{e B l}{m_e v}\right), & \text{при } l \le \frac{m_e v}{e B} \\ | |||
| \frac{\pi}{2}, & \text{при } l > \frac{m_e v}{e B} | |||
| \end{cases} | |||
| $$ | |||
| --- | |||
| **Примечание к официальному ответу:** | |||
| В ответе задачника Савченко указано: $\sin\alpha = \frac{eBl}{m_e v}$ (для первого случая) и $\alpha = \pi$ (для второго). Буква $\alpha$ в официальном ответе обозначает "угол поворота вектора скорости" относительно его начального направления (то есть угол между начальной и конечной скоростью). Однако при буквальном прочтении вопроса «Под каким углом к границе области...» решением является угол $\beta$, выведенный выше. | |||