Правка разделов «Решение», «Ответ»
ru/10.1.7.md
+4 −2
| ### Условие | |||
| $10.1.7.$ Электрон влетает в область магнитного поля ширины $l$. Скорость электрона $v$ перпендикулярна как индукции поля $B$, так и границам области. Под каким углом к границе области электрон вылетит из магнитного поля? | |||
| ### Решение | |||
| @@ -6,6 +6,8 @@Решение | |||
|  | |||
| + | Примечание к чертежу: Магнитное поле направлено «на нас» (знак $\odot$). Поскольку электрон заряжен отрицательно, сила Лоренца направлена вверх, поэтому траектория загибается вверх. | ||
| + | |||
| Электрон в магнитном поле движется по дуге окружности. Радиус этой траектории $R$ определяется из равенства силы Лоренца и центростремительной силы: | |||
| $$e v B = \frac{m_e v^2}{R} \implies R = \frac{m_e v}{e B}$$ | |||
| В зависимости от ширины области $l$ возможны два случая. Найдем искомый угол $\beta$ между вектором скорости и границей области: | |||
| 1. Случай $l \le R$ (то есть $\frac{eB}{m_e} \le \frac{v}{l}$) | |||
| Электрон пролетает область насквозь и вылетает через правую границу. В процессе движения его вектор скорости поворачивается на угол $\theta$. Из геометрии чертежа синус этого угла равен отношению ширины области $l$ к радиусу $R$: | |||
| $$\sin\theta = \frac{l}{R} = \frac{e B l}{m_e v}$$ | |||
| @@ -17,7 +19,7 @@Решение | |||
| Искомый угол $\beta$ между направлением вылета электрона и самой границей (вертикалью) дополняет угол $\theta$ до $90^\circ$: $\beta = \frac{\pi}{2} - \theta$. Следовательно: | |||
| $$\cos\beta = \sin\theta = \frac{e B l}{m_e v} \implies \beta = \arccos\left(\frac{e B l}{m_e v}\right)$$ | |||
| − | |||
| + | (Если $l = R$, то $\cos\beta = 1$, откуда $\beta = 0$ — электрон вылетает касательно, параллельно границе). | ||
| 2. Случай $l > R$ (то есть $\frac{eB}{m_e} > \frac{v}{l}$) | |||
| Электрон не достигает правой границы. Он описывает полуокружность в магнитном поле и вылетает обратно через левую границу. В момент вылета вектор его скорости направлен строго перпендикулярно левой границе. Следовательно, угол с границей составляет: | |||
| $$\beta = \frac{\pi}{2}$$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| \beta = | |||
| \begin{cases} | |||
| \arccos\left(\frac{e B l}{m_e v}\right), & \text{при } l \le \frac{m_e v}{e B} \\\\ | |||
| \frac{\pi}{2}, & \text{при } l > \frac{m_e v}{e B} | |||
| \end{cases} | |||
| @@ -34,5 +36,5 @@Ответ | |||
| $$ | |||
| --- | |||
| − | * | ||
| + | *Примечание к официальному ответу:* | ||
| В ответе задачника Савченко указано: $\sin\alpha = \frac{eBl}{m_e v}$ (для первого случая) и $\alpha = \pi$ (для второго). Буква $\alpha$ в официальном ответе обозначает "угол поворота вектора скорости" относительно его начального направления (то есть угол между начальной и конечной скоростью). Однако при буквальном прочтении вопроса «Под каким углом к границе области...» решением является угол $\beta$, выведенный выше. | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $10.1.7.$ Электрон влетает в область магнитного поля ширины $l$. Скорость электрона $v$ перпендикулярна как индукции поля $B$, так и границам области. Под каким углом к границе области электрон вылетит из магнитного поля? | $10.1.7.$ Электрон влетает в область магнитного поля ширины $l$. Скорость электрона $v$ перпендикулярна как индукции поля $B$, так и границам области. Под каким углом к границе области электрон вылетит из магнитного поля? | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| @@ -6,6 +6,8 @@Решение | |||
|  |  | ||
| Примечание к чертежу: Магнитное поле направлено «на нас» (знак $\odot$). Поскольку электрон заряжен отрицательно, сила Лоренца направлена вверх, поэтому траектория загибается вверх. | |||
| Электрон в магнитном поле движется по дуге окружности. Радиус этой траектории $R$ определяется из равенства силы Лоренца и центростремительной силы: | Электрон в магнитном поле движется по дуге окружности. Радиус этой траектории $R$ определяется из равенства силы Лоренца и центростремительной силы: | ||
| $$e v B = \frac{m_e v^2}{R} \implies R = \frac{m_e v}{e B}$$ | $$e v B = \frac{m_e v^2}{R} \implies R = \frac{m_e v}{e B}$$ | ||
| В зависимости от ширины области $l$ возможны два случая. Найдем искомый угол $\beta$ между вектором скорости и границей области: | В зависимости от ширины области $l$ возможны два случая. Найдем искомый угол $\beta$ между вектором скорости и границей области: | ||
| 1. Случай $l \le R$ (то есть $\frac{eB}{m_e} \le \frac{v}{l}$) | 1. Случай $l \le R$ (то есть $\frac{eB}{m_e} \le \frac{v}{l}$) | ||
| Электрон пролетает область насквозь и вылетает через правую границу. В процессе движения его вектор скорости поворачивается на угол $\theta$. Из геометрии чертежа синус этого угла равен отношению ширины области $l$ к радиусу $R$: | Электрон пролетает область насквозь и вылетает через правую границу. В процессе движения его вектор скорости поворачивается на угол $\theta$. Из геометрии чертежа синус этого угла равен отношению ширины области $l$ к радиусу $R$: | ||
| $$\sin\theta = \frac{l}{R} = \frac{e B l}{m_e v}$$ | $$\sin\theta = \frac{l}{R} = \frac{e B l}{m_e v}$$ | ||
| @@ -17,7 +19,7 @@Решение | |||
| Искомый угол $\beta$ между направлением вылета электрона и самой границей (вертикалью) дополняет угол $\theta$ до $90^\circ$: $\beta = \frac{\pi}{2} - \theta$. Следовательно: | Искомый угол $\beta$ между направлением вылета электрона и самой границей (вертикалью) дополняет угол $\theta$ до $90^\circ$: $\beta = \frac{\pi}{2} - \theta$. Следовательно: | ||
| $$\cos\beta = \sin\theta = \frac{e B l}{m_e v} \implies \beta = \arccos\left(\frac{e B l}{m_e v}\right)$$ | $$\cos\beta = \sin\theta = \frac{e B l}{m_e v} \implies \beta = \arccos\left(\frac{e B l}{m_e v}\right)$$ | ||
| (Если $l = R$, то $\cos\beta = 1$, откуда $\beta = 0$ — электрон вылетает касательно, параллельно границе). | |||
| 2. Случай $l > R$ (то есть $\frac{eB}{m_e} > \frac{v}{l}$) | 2. Случай $l > R$ (то есть $\frac{eB}{m_e} > \frac{v}{l}$) | ||
| Электрон не достигает правой границы. Он описывает полуокружность в магнитном поле и вылетает обратно через левую границу. В момент вылета вектор его скорости направлен строго перпендикулярно левой границе. Следовательно, угол с границей составляет: | Электрон не достигает правой границы. Он описывает полуокружность в магнитном поле и вылетает обратно через левую границу. В момент вылета вектор его скорости направлен строго перпендикулярно левой границе. Следовательно, угол с границей составляет: | ||
| $$\beta = \frac{\pi}{2}$$ | $$\beta = \frac{\pi}{2}$$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | $$ | ||
| \beta = | \beta = | ||
| \begin{cases} | \begin{cases} | ||
| \arccos\left(\frac{e B l}{m_e v}\right), & \text{при } l \le \frac{m_e v}{e B} \\\\ | \arccos\left(\frac{e B l}{m_e v}\right), & \text{при } l \le \frac{m_e v}{e B} \\\\ | ||
| \frac{\pi}{2}, & \text{при } l > \frac{m_e v}{e B} | \frac{\pi}{2}, & \text{при } l > \frac{m_e v}{e B} | ||
| \end{cases} | \end{cases} | ||
| @@ -34,5 +36,5 @@Ответ | |||
| $$ | $$ | ||
| --- | --- | ||
| * |
*Примечание к официальному ответу:* | ||
| В ответе задачника Савченко указано: $\sin\alpha = \frac{eBl}{m_e v}$ (для первого случая) и $\alpha = \pi$ (для второго). Буква $\alpha$ в официальном ответе обозначает "угол поворота вектора скорости" относительно его начального направления (то есть угол между начальной и конечной скоростью). Однако при буквальном прочтении вопроса «Под каким углом к границе области...» решением является угол $\beta$, выведенный выше. | В ответе задачника Савченко указано: $\sin\alpha = \frac{eBl}{m_e v}$ (для первого случая) и $\alpha = \pi$ (для второго). Буква $\alpha$ в официальном ответе обозначает "угол поворота вектора скорости" относительно его начального направления (то есть угол между начальной и конечной скоростью). Однако при буквальном прочтении вопроса «Под каким углом к границе области...» решением является угол $\beta$, выведенный выше. | ||