Решение

Примечание к чертежу: Магнитное поле направлено «на нас» (знак $\odot$). Поскольку электрон заряжен отрицательно, сила Лоренца направлена вверх, поэтому траектория загибается вверх.

Электрон в магнитном поле движется по дуге окружности. Радиус этой траектории $R$ определяется из равенства силы Лоренца и центростремительной силы:
$$e v B = \frac{m_e v^2}{R} \implies R = \frac{m_e v}{e B}$$

В зависимости от ширины области $l$ возможны два случая. Найдем искомый угол $\beta$ между вектором скорости и границей области:

1. Случай $l \le R$ (то есть $\frac{eB}{m_e} \le \frac{v}{l}$)
   Электрон пролетает область насквозь и вылетает через правую границу. В процессе движения его вектор скорости поворачивается на угол $\theta$. Из геометрии чертежа синус этого угла равен отношению ширины области $l$ к радиусу $R$:
   $$\sin\theta = \frac{l}{R} = \frac{e B l}{m_e v}$$

Искомый угол $\beta$ между направлением вылета электрона и самой границей (вертикалью) дополняет угол $\theta$ до $90^\circ$: $\beta = \frac{\pi}{2} - \theta$. Следовательно:
$$\cos\beta = \sin\theta = \frac{e B l}{m_e v} \implies \beta = \arccos\left(\frac{e B l}{m_e v}\right)$$
(Если $l = R$, то $\cos\beta = 1$, откуда $\beta = 0$ — электрон вылетает касательно, параллельно границе).

2. Случай $l > R$ (то есть $\frac{eB}{m_e} > \frac{v}{l}$)
   Электрон не достигает правой границы. Он описывает полуокружность в магнитном поле и вылетает обратно через левую границу. В момент вылета вектор его скорости направлен строго перпендикулярно левой границе. Следовательно, угол с границей составляет:
   $$\beta = \frac{\pi}{2}$$